Bonjour

Qu'as tu essayé?
Pour la première question, s'intéresser au groupe engendré par a pourra être utile.

Fractal

Bonjour,

pour la première question j'obtiens pas grand chose, par exemple l'odre de a divise n.. Es-ce correcte?

je me suis trompé je voulais dire l'odre de a divise p...

Oui, l'ordre de a divise p.
Mais p n'est pas quelconque, quels sont ses diviseurs?

Fractal

Oui, p est premier, les diviseurs de p sont 1 et lui meme, d'ou ordre de a vaut 1 ou p. On trouve ensuite ce qui est demandé.
Est-ce correcte?

P n'a effectivement que deux diviseurs : 1 et lui-même
Si la classe de a modulo n est d'ordre 1 dans Z/nZ, n divise a - 1.

Il reste à montrer que que si a est d'ordre p modulo n, alors p divise φ(n).
Intéresse-toi au groupe multiplicatif (Z/nZ)*

Fractal

Oui merci !

D'après le théorème d'Euler on a: a⁽ⁿ⁾=1 [n]
De la on peut dire que l'ordre de a = p divise (n)?

Oui tout à fait

Ce que j'avais en tête était de dire que le sous-groupe de (Z/nZ)* engendré par a est de cardinal p, et que comme (Z/nZ)* est de cardinal φ(n), d'après le théorème de Lagrange on a p divise φ(n).
Mais c'est tout aussi bien d'utiliser le théorème d'Euler directement.

Pour la question 2, tu as dû oublier l'hypothèse p ≥ 3, car pour p = 2 on obtient M2 = 3 mais 3 n'est pas congru à 1 modulo 4.

Fractal

Mais c'est tout aussi bien d'utiliser le théorème d'Euler directement.

Je ne suis pas d'accord car par exemple mod 5
et
pourtant 12 ne divise pas 16 ni 16 ne divise 12

il faut faire comme tu le suggères Fractal
c'est d'ailleurs comme cela que l'on obtient Euler

Oui je comprend, merci.
Avez vous une idée pour la seconde question?

ds le 1
on sait que n  ne divise  pas a (bezout)
Donc a est inversible mod n
soit a=1 mod n
soit a différent de 1 et  l'ordre de a c'est p (car p est premier)qui divise

alors si n diviseur premier de alors
soit n=2 impossible car bezout(n,2^p)(donc au passage n=1 mod 2)
soit n=1 mod p

apaugam -> Je ne comprends pas ton raisonnement. a est d'ordre p, et donc p divise φ(n), c'est parfaitement correct.

Fractal

apaugam je ne comprend pas pourquoi:

alors si n diviseur premier de 2^p-1 alors
soit n=2 impossible car bezout(n,2^p)(donc au passage n=1 mod 2)
soit n=1 mod p

ce qu'on cherche a prouver c'est que n=1 mod 2p  et non n=1 mod p

Pour la question 2, si q est un diviseur premier de M_p, d'après la question 1, p divise φ(q) = q - 1, donc q est congru à 1 modulo p.
Ainsi, q est soit congru à 1, soit à p + 1 modulo 2p, mais comme p + 1 est pair, si q était congru à p + 1 modulo 2p q serait pair ce qui est absurde. Donc q est congru à 1 modulo 2p.

Fractal

milles excuses il faisait tres chaud ici hier et je n'avais pas l'esprit clair !
effectivement
a est d'ordre p, et donc p divise φ(n), c'est parfaitement correct.

alors si n diviseur premier de 2^p-1 alors

soit n=2 impossible car kn=2^p-1 -kn+2^p=1 (bezout(n,2)
n est donc premier impair et ainsi n-1 est divisible par 2

soit n premier n>2 d'apres 1, est divisible par p c'est-à-dire n=1 mod p

avec p>2 (hypothèse que tu as du oublier comme le montre le Cex ci dessus) p est premier avec 2
donc p et 2 sont deux facteurs premiers distincts de n-1 qui est donc divisible par 2p