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Nombre et rectangle d'or

Posté par Megy (invité) 06-04-07 à 14:57

Bonjour,
Je suis en troisième et j'ai un devoir de maths à faire pour la rentrée. D'habitude je n'ai de problème, mais là, je bloque.

***

Ici j'ai un problème de calcul. Je n'arrive pas à me débarasser cette racine carrée.

***

Là, je n'ai pas de problème pour le a/, mais le b/ me semble tout simplement impossible... Du moins la fin.
J'arrive à calculer OM en fonction de l, mais je n'ai pas de mesures et je ne vois pas comment on peut passer de l/L à φ...

Merci d'avance de votre aide^^

édit Océane

Posté par
Camélia Correcteurre : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:04

Bonjour

D'abord:

\varphi^2=\frac{1+2\sqrt 5+5}{4}=1+\frac{1+\sqrt 5}{2}=1+\varphi

Ensuite:
Tu montres que L/l vérifie l'équation x2-x-1=0.

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:07

comment montrer que x²-x-1=0    
L/l=\phi

Donc \phi^2-...=0  

Edit:  tu devrais retrouver que \phi^2= \phi+1

Kuider

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:10

Pour le premier

1 + (1+racine de 5)/2
=2/2 + (1+racine de 5)/2
=(3+racine de 5)/2

et [(1+racine de 5)/2]²
=(1+2racine de5 +5)/4
=(6+2racine de 5)/4
=(3+racine de 5)/2 >>simplification par 2

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:15

fakir151 , la premiere question est un peu bête quand on sait que phi est solution de l'équation x²-x-1=0

puisque x²=x+1
       d'ou \phi^2=\phi+1

Kuider

Posté par
Panter Correcteurre : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:15

bonjour

pour le 1)
calculons : 5$ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 :

5$ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}

alors : 5$ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 5$ = 5$\red\frac{3+\sqrt{5}}{2}

maintenant calculons : 5$ \frac{1+\sqrt{5}}{2}+1 :

5$ \frac{1+\sqrt{5}}{2}+1 =\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{2} =\frac{1+\sqrt{5}+2}{2} =\frac{3+\sqrt{5}}{2}

donc 5$ \frac{1+\sqrt{5}}{2}+1 5$= 5$ \red \frac{3+\sqrt{5}}{2}

donc : 5$ \blue (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:22

Je préfere ma démonstration en partant de l'éq : x²-x-1=0 (elle est moins lourde et..plus rapide non? )


Kuider

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:24

Je te rappelle que nous sommes en 3eme

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:26

Ben oui!
Il n'y rien de trés savant dans le fait que x²-x-1=0 équivaut a x²=x+1  


Kuider
                                                              

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:36

je suis e rain de numériser la réponse et je te le donne apres.

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:39

***

re édit Océane !

Posté par
Panter Correcteurre : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:40

kuid312

Oui c'est vrai, c'est très rapide, mais un élève de 3e ne pensera jamais à ca !

Posté par
Panter Correcteurre : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:42

fakir151 c'est quoi ca ? essayes d'ecrire avec Latex, c'est plus joli !

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:45

Panter :

2=1+1   d'ou 2-1=1 évident non? Ben la c'est pareil sauf que c'est avec des inconnues

Kuider

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:45

désolé je ne sais pas encore comment on fait. Je vais aller voir l'aide mais pou celui la je laisse comme ça.

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:46

Kuider, je crois que ce que tu as écri est aux : depuis quand 1²=2

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:58

Ben non justement phi est le seul nombre qui vérifie x²=x+1

Kuider

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 15:59

C'est quoi phi stp?

Posté par kuid312 (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 16:00

phi = \phi  


Kuider

Posté par
Panter Correcteurre : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 16:40

Tu vois kuid312, un élève de 3e ne pourra pas comprendre ...

Posté par Megy (invité)re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 18:04

Wow toutes ces réponses ^^' Merci beaucoup. Le 1/ c'est ok, mais le 2/ je comprends toujours pas...(au fait, j'en suis pas encore aux équations avec des x²...)
Je vais retranscrire ici puisque mon image est passée à la trappe...

a/Tracer un carré AMND. On appelle O le milieu de [DN]. On place, sur la demi-droite [DN), le point C tel que OC = OM. On trace le rectangle ADCB (B se trouve sur la demi-droite [AM)). On désigne sa largeur par l et sa longueur par L.

b/Calculer OM en fonction de L. On pourrait calculer tout d'abord ON et NM. Calculer L en fonction de l.

En déduire que \frac{L}{l} = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} = Phi

J'ai calculé OM mais ça m'a l'air un peu tordu.

On utilise le théorème de Pythagore :
ON² + MN² = OM²
(\frac{1}{2} l)^2 + l^2 = OM^2
\frac{1}{4} l + l^2 = OM^2
\sqrt{\frac{1}{4}l + l^2}

Pour calculer L en fonction de l, je vois vraiment pas.

Posté par
fakir151re : Nombre et rectangle d'or 06-04-07 à 18:11

Je t'ai envoyé les réponses par mail à l'adresse de ton profil dans une piece jointe.


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