Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master
nombre parfait
Posté par thetoto
Bonsoir à tous.
Pourriez vous m'aider à montrer que 3a. 5b.7c n'est jamais un nombre parfait?
Merci de votre aide!
Bonsoir,
Au feeling je propose :
Soit N = 3a.5b.7c alors la somme des diviseurs de N vaut :
S = (1+3+...+3a).(1+5+...+5b).(1+7+...+7c)
Soit S =
D'où S =
On veut montrer que S ne peut être égale à
Ainsi, on veut montrer que l'on ne peut pas avoir :
Or, chacune des parenthèses du membre de gauche étant divisible par 2, le membre de gauche est lui-même divisible par 8. Ce qui n'est pas le cas du membre de droite.
Oups !
Ce n'est pas 24 mais 48 au dénominateur de la première expression de S.
Un coup dans l'eau ...
Si je me relisais avant d'envoyer je n'aurais pas oublié les "+1" aux puissances de a, b et c (re-oups!)(à vouloir écrire en LaTex ...)
Après corrections, je dirais qu'il faut prouver que l'équation :
n'admet pas de solution entière.
Bonjour 
Supposons d'abord que a, b et c sont > 0.
La somme des diviseurs de n = 3a. 5b.7c est égale à
Pour que n soit parfait, il faudrait donc avoir
Soit
Or pour a > 2, b > 0 et c > 0, on a
Le membre de gauche est donc supérieur à 97 et ne saurait être égal à 96.
Reste à examiner les cas a = 1 ou 2, ainsi que les cas où abc = 0.
Cordialement
Frenicle
merci!
mais je ne comprends pas pourquoi 24 aparait sur l'égalité au membre de droite. Moi j'aurais mis 2*48..
Je crois qu'il vaut mieux que j'aille me coucher
Un nombre est parfait s'il est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ... et j'ai évidemment écrit le contraire plus haut
On oublie tout et je recommencerai quand je serai concentré.
Désolé pour le dérangement