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Niveau Maths sup
nombres 1ers entre eux
Posté par ttjeanmichel
bonjour
je voudrais savoir si les 2 méthodes pour montrer que a et a-1 sont 1ers entre eux sont correctes (a ds N>=2):
1)par l'algorithme d'Euclide,on a: a=(a-1) + 1;donc le dernier reste non nul est 1 donc a et a-1 sont 1ers entre eux.
2)on peut écrire a/(a-1) comme (a-1+1)/(a-1) = 1+1/(a-1) qui n'est pas naturel donc ils sont 1ers entre eux.
Quand pensez-vous?
Merci.
La première est correcte. la deuxieme est fausse :
6 et 4 ne sont pas premier entre eux, mais 6/4 ou 4/6 n'est pas entier pour autant...
tu peut aussi le faire par le th de Bézout :
(a) - (a-1) = 1 donc ils sont premiers entre eux
ou par la définition :
si d >1, et que d divise a-1 alors a-1=kd, le diviseur de d suivant est (k+1)d qui est strictement plus grand que a, donc a et a-1 n'on pas de diviseur commun >1 : ils sont premier entre eux.
re bonjour Ksilver,
en relisant ta 2ème méthode ,celle à l'aide de la définiton, je n'ai toujours pas compris;(k+1)d n'est pas un diviseur de d!
Pourrais-tu ,m'éclaircir davantage.
Merci.
et la fin devient alors:
donc a et a-1 n'on pas de multiple commun >1 : ils sont premier entre eux?
Merci.
non, mais dire que a-1 n'est pas un multiple de d signifie que d est un diviseur de a-1.
je recommence :
si d >1, et que d divise a-1 alors a-1=kd, le multiple de d suivant est (k+1)d qui est strictement plus grand que a, donc d ne dvise pas a et donc a et a-1 n'on pas de diviseurs commun >1 : ils sont premier entre eux.
De nouveau bonjour Ksilver,
avant de proposer quelque chose d'autre,quand tu dis:" le multiple de d suivant est (k+1)d",tu pars de k ,c'est bien ça?Et je ne comprends après ce "donc" d divise....
Voici ma proposition en m'inspirant de ton idée:
supposons q'il existe d >1 divisant a-1 et a ;alors (a-1)/d =k et a-d =l ,avec a et d >1.
Donc a-1=k*d et a=d*l d'où on obtient d=1/(l-k);puisque d<1, l-k<1 équivaut à l<k+1;comme d>1>0 ,alors l-k aussi >0 équivaut à l>k.On arrive finalement à l'encadrement suivant:k<l<1+k.Mais l dans N,donc c'est impossible et d'où un tel d>1 n'existe pas.Donc a-1 et a sont 1ers entre eux.
Ai-je bon?Merci.
"ne comprends après ce "donc" d divise...." >>> Ba le multiple suivant (apres a-1) de d est (k+1)d, qui n'est pas a. bref a ne peut pas etre un multiple de d... est quand je dis " d ne divise pas a" ca veut dire exactement la meme chose que "a n'est pas multiple de d".