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Nombres complexes

Posté par
kissoux76 12-10-08 à 13:29

Bonjour,
Alors voila j'ai des petits exercices a faire pour la semaine prochaine sur les nombres complexes et je n'arrive pas a en faire un seul, (je me demande comment j'ai fait pour avoir mon bac). En plus ce sont des petits exercices idiots. Alors si quelqu'un pouvait m'aider que je retrouve la memoire.

Exercice 1:
k étant un réel donné, on pose z=(1+ik)/(2k+i(k[/sup]-1))
Calculer Re (z) et Im(z)

Exercice 2:
Soit a= cos TETA + i sin TETA. On pose z= (1-a)/(1+a). Calculer Re(z) et Im(z).

Exerxixe 3:
En utilisant la formule de Moivre et la formule du binôme exprimer cos 5TETa en fonction de cos TETA.
( j'ai la formule mais je ne l'ai jamais utilisé)

Exercice 4:
resoudre dans C l'équation:
z[sup]+z(i-2)+3-i=0

Exercice 5:
Calculer les racines de l'équation z^4+1=0

Voila j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Posté par
veledare : Nombres complexes 12-10-08 à 15:58

bonjour,
1) je n'arrive pas à déchiffrer
2)a=e^{i\theta}=>z=\frac{1-e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}}=N/Davec N={e^{i\theta/2}[e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2]]}D={e^i\theta/2[e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}]}=>z=\frac{e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}}=-itan(\theta/2)
sitan(\theta/2)>0 argz=-\pi/2 et|z|=tan\theta/2
sitan\theta/2<0 argz=\pi/2 et |z|=-tan\theta/2

Posté par
veledare : Nombres complexes 12-10-08 à 16:21

5)z^4=-1=e^-i\pi
les solutions sont les racines quatrièmes de -1
z__k=e^{\frac{-i\pi+2k\pi}{4}}pourk variant de 0 à 3
ce qui donne z_0=e^{-i\pi/4},z_1=iz_0,z_2=-z\0,z_3=-iz_0

Posté par
veledare : Nombres complexes 12-10-08 à 16:37

pour le 2) la partie réelle c'est O et la partie imaginaire c'est -tan\theta/2sauf erreur de calcul
3)e^{i5\theta}=(e^i\theta)^5
(cos(5\theta)+isin(5\theta)=(cos(\theta)+isin(\theta))^5
tu développes à droite par la formule du binôme la partie réelle du membre de droite te donne cos(5\theta),la partie imaginaire te donne sin(5\theta]

Posté par
veledare : Nombres complexes 12-10-08 à 16:39

4)
il faut lire z²+z(i-2)+3-i=0???

Posté par
kissoux76re : Nombres complexes 12-10-08 à 18:02

Merci déja pour tout. Je vais regarder toutes ces reponces en détails.

Pour l'exercice 1) z= (1+ik) / (2k+i(k^2-1))

Et pour l'exercice 4) oui il faut bien lire:
z^2+z(i-2)+3-i=0

Posté par
veledare : Nombres complexes 12-10-08 à 21:42

pour le 4) tu cherches le discriminant sauf erreur=-9=(3i)² ensuite tu utilises les habituelles formules donnant les racines d'une équation du second degré


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