Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... IUT/DUT Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau IUT/DUT
Partager :

Nombres Complexes

Posté par
Almalexia 27-10-08 à 15:03

Salut à tous et toutes !

J'ai un DM à faire mais je n'y arrive pas, j'espère que vous pourrez m'aider.

Exercice 1

Donner l'écriture exponentielle de \frac{1+j\tan(\alpha)}{1-j\tan(\alpha)}

Exercice 2

Déterminer les points m d'affixe z, tels que les points A, m et M d'affixes respectives j, z et jz, soient alignés.

Exercice 3

Résoudre dans \mathbb{C}:[\frac{(Z + j)}{(Z - 3)}] = [\frac{(Z + j)}{(Z - 3)} - 1] (entre crochets = Module)

Exercice 4

Soit S(z) = 1+jz^2-z^4-jz^6      (z )
1. Donner une expression de S(z)  sous forme de quotient. (déjà fait)
Je trouve \frac{1-z^8}{1-jz^2}
2.En deduire les racines dans de S(z) = 0

Il y a d'autres exercices mais je pense pouvoir les faire seule.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:19

Bonjour

Si j représente i le nombre complexe tq i² = -1 alors :

Exercice 1 :

\Large{\frac{1+j.tan(\alpha)}{1-j.tan(\alpha)} = \frac{\frac{1}{cos(\alpha)}(cos(\alpha)+j.sin(\alpha))}{\frac{1}{cos(\alpha)}(cos(\alpha)-j.sin(\alpha))} = \frac{e^{j\alpha}}{e^{-j\alpha}} = e^{2j\alpha}

Sauf erreurs

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:26

Oui le j c'est le i.

Merci de ton aide mais 'ai pas suivi ce que tu as fait -_-'.

Tu pourrais m'expliquer vite fait ?

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:27

Pour l'exercice 2 :

vect(AM) a pour affixe jz-j  et  vect(Am) a pour affixe z-j

A,M et m sont alignés si vect(AM) et vect(Am) sont colinéaires (puisque A en commun). Donc

Si tu poses z = a+jb

Tu en déduis les coordonnées de vect(AM) et vect(Am), et donc en écrivant la condition de colinéarité, sauf erreur, tu trouves que :

les points m sont les points situés sur le cercle de centre P(1/2,1/2) et de rayon 1/V(2)

Bon courage

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:29

Pour l'exercice 1 c'est bon j'ai compris.

Pour le 2, c'est juste vecteur AM et Am colinéaires ?

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:29

Pour l'exercice 1 :

tan(a) = sin(a)/cos(a)  Donc si tu développes :

(1/cos(a)).(cos(a)+j.sin(a)) tu obtiens bien 1+j.tan(a)

Et après il suffit de savoir que :

exp(ia) = cos(a)+i.sin(a)

A bientôt

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:32

Pour l'exercice 2,

La condition pour que A,M et m soit alignés est bien vect(AM) colinéaires avec vect(Am)

Si tu veux le vérifiés, tu mets 2 point sur une feuille avec A fixe.

Si tu veux que les points soit alignés, il faut bien que l'autre vecteur soit colinéaire mais aussi qu'il passe par A.

En écrivant cette condition, tu obtiens la réponse (lire la suite de mon autre message)

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:34

Vraiment un grand merci à toi!

J'étais en train de devenir folle avec ces maths ^^.

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 15:45

Quelqu'un peut confirmer que 2 vecteurs sont colinéaires si le déterminant est nul ?

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:06

Je ne trouve pas.

Les vecteurs c'est bien:

Am \(-b\\(a-1)\) et AM \(a\\(b-1)\) ?

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:17

Oui c'est bien ça enfin, j'ai plutôt l'inverse !

AM (-b,a-1)  et  Am (a,b-1)

Et en effet, 2 vecteurs colinéaires ont leur déterminant nul

Essaie ensuite de faire apparaitre l'équation d'un cercle

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:21

C'est bon, j'ai: (a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:23

Parfait

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:24



Mais il me reste encore 2 exercices

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:32

Plus précisement, il ne te reste que le 3), le 4) tu l'as déjà presque fini !

S(z) = 0 <=> z^8 = 1

Tu poses z = r.exp(ia)

z^8 = 1  <=>  r^8.exp(8ia) = 1.exp(i.0)
           <=>  r = 1  et  8a = 0 + 2k.pi , k dans [|0,7|]
           <=>  r = 1  et  a = k.pi/4 , k dans [|0,7|]

Et voila, tu as tes 8 solutions

As-tu des idées pour le 3) ?

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:37

Ah c'était donc ça pour le 4. Je l'ai noté quelque part un truc du genre avec des modulo [2]/8

Sinon pour le 3 j'ai pas encore cherché. Je vais essayer.

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 16:45

Une idée pour le 3) à vérifier (je dois y aller).

Résouds d'abord : |Z| = |Z-1|

Tu vas trouver qu'il faut que Re(Z) = 1/2

Tu appliques alors cela à ton problème avec Z = (z+i)/(z-3)

En écrivant z = a+ib, et en exprimant la partie réelle de (z+i)/(z-3), tu vas trouver en égalisant ce terme avec 1/2 que les z qui vérifient le problème sont les points situés sur le cercle de centre P(0,-1) et de rayon V(10)

A vérifier

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 27-10-08 à 17:44

Tu y arrives ?

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 27-10-08 à 17:52

Je n'ai pas encore essayé car je ne suis pas là ce soir.

J'essayerais de voir demain.

Merci pour ton aide précieuse.

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 08:42

Bonjour.

mais je trouve plutot Im(Z)=\frac{1}{2}

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 08:47

Mais je sais que c'est faux.

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 08:55

C'est corrigé.

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 28-10-08 à 09:57

D'accord

Tu as donc fini l'exercice ?

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:02

Non je n'arrive pas apres.

je trouve un cercle de centre (\frac{3}{2};\frac{-1}{2}) de rayon racine de 3

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:16

tu veux trouver la partie réelle de (z+i)/(z-3)

Tu poses z = a+ib

\Large{\frac{a+i(b+1)}{(a-3)+ib} = \frac{[a+i(b+1)].[(a-3)-ib]}{(a-3)^2+b^2} = \frac{a(a-3)+b(b+1)}{(a-3)^2+b^2} + i(\frac{(b+1)(a-3)-ab}{(a-3)^2+b^2})

D'où :

\Large{Re(\frac{z+i}{z-3})=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \frac{a(a-3)+b(b+1)}{(a-3)^2+b^2} = \frac{1}{2} \Longleftrightarrow a^2+(b+1)^2 = 10

Sauf erreur

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:23

La premiere ligne, j'ai exactement ca mais la 2nde ligne

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:25

On a vu que |Z| = |Z-1| pour Re(Z) = 1/2

Ici Z = (z+i)/(z-3)

Donc comme on veut que |(z+i)/(z-3)| = |(z+i)/(z-3)-1| il faut que :

Re(Z) = Re((z+i)/(z-3)) = 1/2  ok ?

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:29

Oui je te suis jusque là ^^

Après c'est juste du calcul et j'ai du faire une erreur.

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:33

Ca donne :

2[a(a-3)+b(b+1)] = (a-3)²+b²

2[a²-3a+b²+b] = a²+9-6a+b²

2a²-6a+2b²+2b = a²+9-6a+b²

a²+b²+2b = 9

a²+(b+1)²-1 = 9

a²+(b+1)² = 10

Posté par
Almalexiare : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:39

J'ai trouvé avant, j'avais fait une petite erreur en recopiant

Et bien je te remercie pour ton aide et pour m'avoir accordé un peu de temps.

Posté par
lyonnaisre : Nombres Complexes 28-10-08 à 10:47

Je t'en prie

A bientôt sur :'ilemaths:


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !