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pgcd

Posté par
Bimaster 23-10-08 à 19:09

Si pgcd(a,b)=1

montrer que

2)pgcd((a+b),(a²-ab+b²))=1ou3


3)pgcd((2a+b),(5a+2b))=1

pour le 2)

il existe un nombre premier p tel que

p|a+b et p|a²-ab+b²

on a donc:
p|(a+b)²-(a²-ab+b²)
p|a²+2ab+b²-a²+ab-b²
p|3ab
et là je ne sait pas quoi faire...

Posté par
xunilre : pgcd 23-10-08 à 19:23

2)a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab

or a\wedge b= 1
donc a+b\wedge ab=1

si d|a+b et d|a^2-ab+b^2

alors nécessairement d|ab et puisque d|a+b alors d|1 ...

Posté par
xunilre : pgcd 23-10-08 à 19:23

3) par combinaison linéaire ça roule

Posté par
Bimasterre : pgcd 23-10-08 à 20:27

le 3 je pese avoir réussit
pgcd(1a+b,5a+2b)=1
p|2a+b et p|5a+2b
p|(4a+2b)-(5a+2b)
p|-a
donc:
p|a
or p|2a+b
donc
p|2a+b-2a -> p|b
comme pgcd(a,b)=1 alors p=1


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