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Niveau Maths sup
pgcd
Posté par mastere
bonjour;
J'ai une petite question quel condition a t'on pgcd(a,b,c) x ppcm(a,b,c)=abc
je sas la réponse il faut qu'ils soient premiers entre eux mais je ne sais pas comment demontrer ce résultat.
Merci d'avance.
Soit p nombre premier , et u,v,w les exposants respectifs auquel apparaît p dans la décomposition en facteur premier de a,b,c .
Alors dans abc , p apparaît à la puissance u+v+w , dans le ppcm p apparaît à la puissance max(u,v,w) et dans le pgcd p apparaît à la puissance min(u,v,w).
Pour avoir ton égalité il faut que
u+v+w= max(u,v,w)+ min(u,v,w) .
ops u>=v>= w par symétrie alors tu as ton égalité SSI pour tout nombre premier p :
u+v+w= u+w d'où v =0 = w . Donc SSi deux quelconques parmi a,b,c sont premiers entre eux.