salut

soit p un diviseur de a, alors:
pgcd(a,b)=1 donc p divise d

donc

si si p=pgcd(a,d) alors il existe q et r tels que a=pq et d=pr

donc

pgcd(ac,bd)=pgcd(pqc,prb)=p pgcd(qc,rb)

or q ne divise pas b et même pgcd(q,b)=1 car si x divise q et b alors x divise a et b donc x=1 (+)

de même pgcd(r,c)=1

donc si x divise qc et rb alors alors x divise c et b

donc en notant x=pgcd(b,c) alors il existe y et z tels que b=xy et c=xz

donc pgcd'ac,bd)=p pgcd(qc,rb)=p pgcd(qxy,rxz)=px pgcd(qy,rz)

or pgcd(qy,rz)=1 par le même raisonnement que (+)

donc pgcd(ac,bd)=px=pgcd(a,d)pgcd(b,c)