Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Pour quelles valeurs de n ...

Posté par
Vladi 16-01-10 à 16:04

Pour quelles valeurs de n , n, le polynôme :
(X+1)^n +X^n +1 est-il divisible par X²+X+1.
J'ai exprimé le reste sous la forme x+ j'ai cherché les racines de X²+x+1 et j'ai trouve e^2ipi3 et e^-2ipi/3 ;j'obtiens alors un système de la forme A=BQ+reste  mais les calculs deviennent alors très compliqués...
Y-at-il des idées plus simples, merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 16:10

Bonjour

En posant j=e^{2i\pi/3} on a bien X^2+X+1=(X-j)(X-\overline j). P_n est divisible si et seulement si P_n(j)=P_n(\overline j)=0. Ca se réduit à

(j+1)^n+j^n+1=0

et on sait que 1+j+j^2=0 et que j^3=1

Posté par
gui_toure : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 16:15

Salut

Je note 3$j=\exp\(\fr{2i\pi}{3}\). On a alors 3$X^2+X+1=(X-j)(X-j^2)

3$(X+1)^n+X^n+1 est divisible par 3$X^2+X+1 si et seulement si 3$j et 3$j^2 sont racines de 3$(X+1)^n+X^n+1.

Conséquence :

Cherche la condition sur n pour que 3$(1+j)^n+j^n+1=0 et 3$(1+j^2)^n+j^{2n}+1=0

Posté par
gui_toure : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 16:16

Hellooow 3$\mathcal\red{Camelia

Posté par
Vladire : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 16:28

J'en étais arrivé là, par-contre j'avais pas pensé à utlisé 1+j+j²=0 !Merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 16:34

Hellow gui_tou

Posté par
Vladire : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 18:38

On doit avoir j^2n + (-j)^n = (-j²)^n + j^n. Mais je coince de nouveau. Dois-je discuter suivant les valeurs de n pair ou impair???

Posté par
MatheuxMatoure : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 18:47

bonsoir
regarde ce que les gens te répondent :
tu dois avoir (-j²)n + jn + 1 = 0 ET (-j)n + j2n + 1 = 0

sachant que j3=1 et j²+j+1 = 0

Posté par
Vladire : Pour quelles valeurs de n ... 16-01-10 à 21:05

J'ai bien lu ce que les gens ont écrits mais je ne vois pas où je peux encore simplifier l'écriture... J'ai enlevé les 1 dans les parenthèses. Suis-je fatigué?

Posté par
carpediemre : Pour quelles valeurs de n ... 17-01-10 à 01:13

salut

soustrais ces 2 égalités et factorise par jn....

Posté par
Vladire : Pour quelles valeurs de n ... 17-01-10 à 18:13

C'est bon j'ai enfin trouvé {n=6q+4 ou n=6q+2 ,q E Z} !!! Merci!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !