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Niveau autre
Preuve de d'Alembert Gauss avec th des résidus
Posté par fade2black
Re-Bonjour,
je cherche maintenant à démontrer d'Alembert Gauss, mais j'aboutis à une contradiction.
Soit P un polynôme, ayant pour racines z_1,...,z_n. On choisis r>0 assez grand pour que les racines de P soient strictement contenues dans le disque D(0,r).
D'après le théorème des résidus, 
P'/P=2i
rés(P'/P,z_i)*Ind(z_i), où Ind(z_i) est l'indice de z_i par rapport au cercle C(0,r). Or on sait que rés(P'/P,z_i)=val(z_i), où val(z_i) est la valuation de z_i dans P (l'ordre de multiplicité).
Je réécris l'égalité : P'/P=2irés(P'/P,z_i)*Ind(z_i)
Mon problème est que pour moi, comme P'/P est holomorphe sur le cercle (qui est un chemin fermé), l'intégrale de gauche est nulle, alors que le membre de droite est égal à 2i n d'après d'Alembert Gauss.
Où me suis-je trompé ?
Merci de votre aide 
Bonjour
La fonction 1/z est tout-à-fait holomorphe sur le cercle unité et, justement son intégrale sur ce cercle n'est pas nulle!
Merci de cette réponse !
L'énoncé est exactement "Calculer 1/2iP'/P et conclure".
En fait je ne sais pas si on attend de moi que j'utilise le théorème de d'Alembert Gauss pour dire que cette intégrale est égale à n (et alors que conclure ?), ou alors si je dois vraiment calculer cette intégrale (comment faire alors ?) sans le théorème des résidus j'imagine, pour montrer qu'elle vaut n, pour montrer d'Alembert Gauss...
Bonsoir à tous
fade2black > je ne comprends pas trop : tu dis que tu veux montrer d'Alembert Gauss mais dès le départ, tu l'utilises.
D'après ce que je comprends, c'est une preuve par l'absurde de ce théorème et pour ce faire, on fait ce calcul.
Bref, si on raisonne par l'absurde, ça veut dire que l'on considère un polynôme complexe non constant P n'ayant aucune racine complexe, et donc P'(z)/P(z) définit une fonction holomorphe sur le plan complexe entier et donc, l'intégrale précédente est nulle et ce pour tout r > 0.
Pour conclure, calculer la limite de l'intégrale précédente lorsque r tend vers de deux manières différentes.
Kaiser
Salut kaiser,
je vais recopier l'énoncé en entier, ça sera plus clair (il sort du poly de Michèle Audin).
"Encore d'Alembert Gauss
Soit , avec
, et soit
assez grand pour que si |z|>r, alors |P(z)|>1. Calculer 1/(2i
)P'/P sur le cercle C(0,r) et conclure"
C'est au vu du titre que je me suis dit qu'on pouvait démontrer d'Alembert Gauss, non ? C'est ça qu'on attend de moi ?
oui, c'est bien ça et il me semble bien qu'il faut raisonner par l'absurde en supposant que P ne s'annule pas : ensuite, essaie la piste que je t'ai donnée plus haut pour conclure.
Kaiser
Hum je ne vois pas bien comment calculer cette intégrale de deux manières différentes.
Comme tu l'as dit, si on suppose que P n'a pas de racines, alors l'intégrales est nulle (ça fait une manière ?)
Ensuite, en passant en polaires, on trouve que la fonction intégrée tend vers quand r tend vers l'infini, qui est d'intégrale nulle. J'ai pas vérifié les hypothèse de convergence dominée mais on trouverait que l'intégrale est nulle, à nouveau. Pas de contradiction jusque là, il doit me manquer une méthode de calcul...
Rebonjour Arkhnor,
alors en écrivant ceci, je trouve (en passant en polaire) que mon intégrale vaut 2in+(intégrale de 0 à 2
). Ce qui tend vers 2in quand R tend vers 
.
Je sors alors le théorème des résidus et je trouve que la somme des valuations des racines de P est égale à n. Ca me semble bon
Merci !