Niveau IUT/DUT

Probabilités

Posté par
djuste 11-11-09 à 19:45

Bonsoir,

J'ai fait un exercice de probabilité, je voudrais savoir si mes résultats sont corrects.

Voici l'énoncé :

Un restaurateur propose trois menus A, B et C. Chaque client choisit un menu et un seul parmi ceux proposés. On suppose que les choix des clients s'effectuent au hasard et sont indépendants. On note respectivement $A_n$ , $B_n$ et $C_n$ les variables aléatoires égales au nombre de clients, parmi les $n$ présents qui se présentent le même jour, choisissant respectivement les menus A, B et C.

Question 1 : donner la loi de probabilité de $A_2$ , déterminer son espérance et sa variance.

Je pose $p$ la probabilité de l'évènement "le client choisit le menu A".

$A_2$ est une loi de Bernoulli, qui prend pour valeurs 0, 1 et 2.

Posté par re : Probabilités 11-11-09 à 20:10

Désolé, encore une fausse manip...

Bonsoir,

J'ai fait un exercice de probabilité, je voudrais savoir si mes résultats sont corrects.

Voici l'énoncé :

Un restaurateur propose trois menus A, B et C. Chaque client choisit un menu et un seul parmi ceux proposés. On suppose que les choix des clients s'effectuent au hasard et sont indépendants. On note respectivement $A_n$ , $B_n$ et $C_n$ les variables aléatoires égales au nombre de clients, parmi les n présents qui se présentent le même jour, choisissant respectivement les menus A, B et C.

Question 1 : donner la loi de probabilité de $A_2$ , déterminer son espérance et sa variance.

Je pose $p$ la probabilité de l'évènement "le client choisit le menu A".

$A_2$ est une loi de Bernoulli, qui prend pour valeurs 0, 1 et 2.

Sa loi est la suivante :

$k$	$0$	$1$	$2$
$p(A_2=k)$	$(1-p)^2$	$2p(1-p)$	$p^2$

L'espérance :

$E(X)=2p(1-p) + p^2 = 2p(1 - p + p) = 2p$

La variance :

$V(X) = E(X^2) + E(X)^2 = 2p(1-p) + 4p^2 + 2p = 2p(1 - p + 4p + 1) = 2p(2 + 3p)$

Question 2 a : donner les lois de $A_n$ , de $(n - A_n)$ et $(B_n + C_n)$

Loi de $A_n$ :

$k$	$0$	$1$	...	$1<q<n$	...	$n$
$p(A_n=k)$	$(1-p)^n$	$np(1-p)^{n-1}$	...	$C_n^qp^q(1-p)^{n-q}$	...	$p^n$

La loi de $(n - A_n)$ , qui est en fait symétrique de $A_n$ , car elle représente les clients qui n'ont pas pris le menu A. La probabilité de ne pas prendre le menu A est $1-p$ .

$k$	$0$	$1$	...	$1<q<n$	...	$n$
$p(n-A_n=k)$	$p^n$	$n(1-p)p^{n-1}$	...	$C_n^q(1-p)^qp^{n-q}$	...	$(1-p)^n$

Enfin la loi de la variable $(n - A_n)$ est exactement identique à $(B_n + C_n)$ : les clients qui ont pris les menus B ou C sont exactement ceux qui n'ont pas pris le menu A. Donc $(B_n + C_n) = (n - A_n)$

Question 2 b : en déduire la probabilité que tous les clients qui se présentent le même jour choisissent le même menu.

L'évènement "les clients choisissent tous le même nenu" est l'union des évènements "ils choisissent A", "ils choisissent B" et "ils choisissent C". Soit P sa probabilité.

Soient $p_a$ , $p_b$ et $p_c$ les probabilités respectives des menus A, B, C.

$P = p(A_n = n) + p(B_n = n) + p(C_n = n) = p_a^n + p_b^n + p_c^n$

Question 3 : déterminer la probabilité que chaque menu soit choisi au moins une fois.
Si chaque menu est choisi au moins une seule fois, cela est exactement l'inverse de l'évènement "aucun menu n'a été choisi".

Soit : $1 - p(A_n = 0) + p(B_n = 0) + p(C_n = 0) = 1 - (1 - p_a)(1 - p_b)(1 - p_c)$

Merci par avance de vos avis !

Posté par re : Probabilités 11-11-09 à 20:32

bonsoir,

j'ai lu en commençant par la fin...

Citation :
Question 3 : déterminer la probabilité que chaque menu soit choisi au moins une fois.
Si chaque menu est choisi au moins une seule fois, cela est exactement l'inverse de l'évènement "aucun menu n'a été choisi"........NON

chaque menu choisi....
l'évènement contraire:
il y a au moins 1 menu qui n'a pas été choisi....
j'ai comme l'impression que la formule serait:
$4$ 1- P(A_n=0)-P(B_n=0)-P(C_n=0) \\ + \\ P(A_n=0).P(B_n=0)+P(A_n=0)P(C_n=0)+P(B_n=0).P(C_n=0) \\ - \\ P(A_n=0).P(b_n=0).P(c_n=0)$

Posté par re : Probabilités 11-11-09 à 21:30

Oui, j'ai fait une faute de frappe !

C'est bien $1 - p(A_n = 0) - p(B_n = 0) - p(C_n = 0)$ qui correspond à "aucun menu choisi".

La probabilité pour que chacun ait été choisi au moins une fois est : p(A_n > 0).p(B_n > 0).p(C_n > 0), l'inverse donc de $p(A_n \le 0) + p(B_n \le 0) + p(C_n \le 0)$

Oui, non ?...

Posté par re : Probabilités 11-11-09 à 22:12

bonsoir,
j'ai commencé par le début voici quelques remarquessur le 1)
* $A_2$
n'est pas une loi mais une variable aléatoire
qui n'est pas de Bernoulli car elle prend trois valeurs c'est un aléa binomial B(2;p;1-p)
comme le choix se fait au hasard il me semble que p=1/3
*[tex]V(X)=E(X²^2)-E(X)^2=>V(A_2)=2p(1-p)

Posté par re : Probabilités 12-11-09 à 13:32

Hé bien, j'ai refait l'exercice, je m'aperçois que j'ai fait une succession de fautes !

Première chose ; effectivement, la probabilité de choisir un menu est bien $\frac{1}{3}$ , puisque que les clients choisissent au hasard.

L'espérance de la variable $A_2$ est correcte, en application numérique, elle vaut bien $\frac{2}{3}$ . En revanche, la variance donnée est fausse, merci à Veleda de me l'avoir montré.

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ et non $V(X) = E(X^2) + E(X)^2$ ! Donc $V(X) = 2p(1-p) = \frac{2}{9}$

Pour la question 3, encore une boulette de ma part, et merci à esta-fette de m'avoir corrigé.

En effet, l'inverse de $p(A_n \ge 1 \cap B_n \ge 1 \cap C_n \ge 1)$ est $1 - p(A_n \lt 1 \cup B_n \lt 1 \cup C_n \lt 1)$ .

$1 - p(A_n \lt 1 \cup B_n \lt 1 \cup C_n \lt 1) = 1 - p(A_n \lt 1) + p(B_n \lt 1 ) + p(C_n \lt 1)$

Ce qui fait : $1 - p(A_n \lt 1)- p(B_n \lt 1 ) - p(C_n \lt 1) = 1 - p(A_n = 0) - p(B_n = 0) - p(C_n = 0)$

La probabilité est donc : $P = 1 - (1-p_A)^n - (1-p_B)^n - (1-p_C)^n$

Comme $p_A = p_B = p_C = \frac{1}{3}$ , alors $P = 1-3(\frac{2}{3})^n$

Voilà, cela devrait être bon... A moins que quelqu'un ne me contredise ?

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