Bonsoir,

ton raisonnement me semble bien parti, qu'est ce qui te gene ?
Pour la première implication, en effet en posant p=x0+y0 et q=x0-y0, tu trouves bien l'existence de deux entiers p et q de même parité (c'est le point à vérifier, sans trop de difficultés) et tels que n=pq.
Pour la réciproque, il faut trouver tes x0 et y0 vérifiant le système : x0+y0=p et x0-y0=q. Le fait que p et q ont même parité par hypothèse a bien son utilité dans la résolution du système => tu vois pourquoi ?

Olivier

Ah ben si ma première implication te semble juste, tantmieux !

Pour la 2ème,
je cherche (x,y) tels que (x-y)(x=y)=pq

Et ensuite ce que je fais, c'est que je suppose par exemple p pair et q aussi
donc p=2t
     q=2k
Du coup j'ai le système suivant à résoudre :
2x=2t+2k
2y=2t-2k

ça te sembles juste?
Ce qui me gène enfaite c'est que (x-y)(x+y)=pq n'est pas equivalent à p=x-y et q=x+y
Alors j'ai peur d'écrire des trucs faux en utilisant implicitement sans que je m'en rende compte cette égalité ..

Donc j'attends ton avis

Merci

Si je comprend bien ton énoncé, tu ne cherches pas à avoir l'équivalence entre (x-y)(x+y)=pq et p=x-y et q=x+y, mais seulement à trouver au moins une solution x0,y0 sous la condition d'existence de p et q. Donc dans ce cadre, tu as le droit de poser le système p=x-y et q=x+y et de vérifier que les x,y que tu trouves constituent bien une solution de x2-y2=pq. Ca te parait clair ?

A+
Olivier

Oui c'est bien ça, mon énoncé me demande de montrer l'existence d'une solution si et seulement si n s'écrit sous la forme pq où p et q sont de même parité.

Ok ben si c'est juste ce que j'avais écrit, c'est cool !
J'avais juste peur d'avoir écrit un truc faux sans m'en rendre compte !

Et juste, si je peux me permettre, la dernière question de l'énoncé est la suivante :

Montrer que n est un nombre premier impair si et seulement si le couple (n+1 / 2, n-1 / 2 ) est l'unique solution de E

Alors si je suppose que c'est une solution unique mais que n n'est pas premier, j'obtiens une contradiction.
Par contre, pour l'autre sens , j'ai pas trop d'idées ..

( On a montré dans la question précédente que si n est impair alors E admet au moins une solution )

Voilà, en tout cas, merci beaucoup !

Bonjour,

si n est premier, alors tu dois trouver la seule décomposition possible de n en produit p et q. Cela te donnera d'après la première partie de ton problème que si n est pair il n'y a pas de solutions et que si n est impair alors une solution est (n+1 / 2, n-1 / 2 ) et elle est unique car la décomposition de n en pq est unique. Ca te donne la bonne piste ?

Olivier

Ah oui exact, si n est impair et premier alors n s'écrit de façon unique sous la forme n=1 x n.
Donc on est amenés à résoudre :
x-y=n
x+y=n

Et on trouve x= n+1 /2
             y= 1-n /2

Alors j'ai juste encore ce petit problème:
il y a pas deux solutions?
Puisque moi je trouve y=1-n /2 et ça marche, et avec y = 1+n /2 ça marche aussi ...

Mis à part ce souci, j'ai compris, je te remercie

avec y=1+n/2 et x=1-n/2 ?? Ca ne semble pas marcher dans ce cas, non ??

non non mais ce qu'on trouve en résolvant le système c'est :
y=(1-n )/2
x=(1=n) /2

Et là, j'ai fait le calcul et sauf erreur de ma part, ça m'a lair de marcher alors que ce n'est pas celle donnée par l'énoncé ..

Je ne comprends pas ta réponse. Pour moi la solution est x=(n+1)/2 et y=(1-n)/2.
Non ?

Olivier

Désolée de t'embéter avec ça ..
Oui je trouve la même solution que toi !

Seulement dans mon énoncé, ils demandent de trouver :
le même x que nous, mais y= (n-1)/2 et non pas y=(1-n)/2 comme on trouve ..

ca ne m'embete pas !
ok j'avais pas pigé ta remarque.
En fait les deux solutions sont bonnes dans Z mais surement que dans l'énoncé on doit te demander des solutions dans N et donc seule la solution positive n-1 doit etre retenu. N'est ce pas cela ?

Olivier

Bien joué

Merci beaucoup ! Je pense que maintenant c'est bon !

A bientôt !
Maria