bonjour,
voici un problème que je n'arrive pas à résoudre dès la 1ere question
pouvez vous m'aider svp ??
soit Qn(X) un polynome de C[X] tel que Qn(X)= [(X+i)n - (X-i)n] / 2i , pour tout entier naturel n
1. degré de Qn ?
2. montrer que Q2r+1(X) = (de k=0 à r) (-1)k (2k+1 parmi 2r+1)X2r-2k , pour tout entier naturel r
3.a. grace a la définition de Qn, trouver les racines de Qn
b. en déduire la décomposition de Qn en produit de poly de deg 1
c. montrer alors que :
Q2r+1(X) = (2r+1) (de k=1 à r) (X² - cotan²(k / (2r+1))
4.a en utilisant les expressions de Q2r+1(X) trouvées aux questions 2 et 3c démontrer que :
(de k=1 à r) cotan²(k / (2r+1)) = (r(2r-1))/3
(on pourra calculer de 2 façons différentes le coefficient devant X2r-2 dans Q2r+1
b. en déduire que (de k=1 à r) 1/(sin²(k / (2r+1))) = 2r(r+1) / 3
merci beaucoup ^^
oui les termes de plus hauts degrés se simplifie
le degré de Qn est n-1.
Mais utilise le binome de newton et tous ira bien tu verras.
Tu pourras même avoir le coefficient devant x^(n-1)
oui,merci, j'ai fait a peu près de la même façon, avec le binome de newton je remarque que si k=0, le deg Qn < n et si k=1, deg Qn = n-1
pouvez vous m'aider pour la 2 svp ?
merci ^^
j'ai utilisé le binome de newton, donc il y a bien des k qui apparaissent :
Qn(X) = ((de k=0 à n) (k parmi n) Xn-k (ik- (-i)k) / 2i
Oui. Mais le degré de Qn ne dépend pas de k. De toute façon, k est une variable muette. Il faut isoler les termes de degrés n (k=0) et n-1 (k=1) et se rendre compte que le premier est nul, et le second non nul.
2.
On repart de la formule (*) ci-dessus en posant et en renommant k en m :
On distingue les cas "m pair" (m=2k) et "m impair" (m=2k+1) :
La somme de gauche est une somme de termes nuls, donc est nulle. Reste :
On simplifie l'exposant à droite :
On simplifie la fraction :
On simplifie le domaine de variation des indices :
ahh j'étais bien parti .. mais je bloquais pour la suite .. merci beaucoup ^^
pour les racines j'ai un peu de mal,je ne vois pas quelle définition utilisée.
merci
3.a.
(On résoud cette équation du premier degré en )
(On divise numérateur et dénominateur par )
On trouve bien racines, ce qui correspond au degré de .
Sauf erreur.
Nicolas
pour la décomposition est ce que je dois utiliser le théorème qui dit que : Si est racine d'un polynôme P [X], alors P s'écrit comme P(X)=(X-)Q(X) avec Q [X]. ??
merci
Oui.
Tu utilises ce théorème (n-1) fois.
Tu sais que le polynôme est de degré (n-1) et tu connais ses (n-1) racines.
Il est donc facile de trouver le résultat demandé, non ?
3.b.
On déduit de la question précédente qu'il existe un tel que :
Or on sait grâce à une question précédente que le terme de plus haut degré est , donc :
je ne comprends pas comment vous arrivez a ce resultat ..
pouvez vous m'expliquer autrement si possible svp ?
merci beaucoup
En appliquant le théorème que tu cites, on en trouve un autre :
Si un polynôme P de degré n admet pour racines a1, a2, ..., an, alors P se factorise par les (X-ai) et :
P(X) = alpha . (X-a1)(X-a2)...(X-an) où alpha est un réel non nul.
ok, mais pour arriver à Q2r+1(X) = (2r+1) (de k=1 à r) (X² - cotan²(k/ (2r+1))
(où on a : X² - cotan²(k/ (2r+1) et non (X - cotan(k/ (2r+1) ,il suffit de faire un changement d'indice ??
merci ^^
(je ne vois toujours pas ce que donne la décomposition désolé .. )
Oui ou non connais-tu ou comprends-tu ce théorème :
Si un polynôme P de degré n admet pour racines a1, a2, ..., an, alors P se factorise ainsi :
P(X) = alpha . (X-a1)(X-a2)...(X-an) où alpha est un réel non nul.
pour la 3c, je remplace n par 2r+1 , puis je divise le produit en 2, allant de k=1 à r et de k=r+1 à 2r)
c'est bien ça pour commencer ?
3.c.
On prend
On sépare le produit en deux :
Dans le produit de droite, on procède au changement d'indice :
Or . Donc :
On regroupe les produits :
Il y a l'une des deux expressions de Q2r+1 au sein de laquelle il est très facile de trouver le coefficient de X^(2r-2). Laquelle ? Quelle est la valeur du coefficient correspondante ?
oui, le coefficient de X^(2r-2) vaut cotan²(kpi/2r+1) .. mais comment en déduire la somme de ce coefficient ??
merci
4.a.
Les questions 2 et 3.c ont permis d'obtenir deux expressions différentes de :
Comme l'énoncé le suggère, trouvons de deux façons différentes le coefficient devant .
A partir de la première forme, c'est très simple. Il suffit de prendre le terme correspondant à :
Pour la seconde forme, visualisons dans notre tête le développement du produit. Pour obtenir un terme en , il faut multiplier avec un . Donc le coefficient devant est une somme de :
En identifiant les deux expressions de , il vient :
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