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Niveau seconde
Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Posté par little-pea (invité)
Bonjour. Besoin d'aide s'il vous plait !
I Préambule
a designe un entier naturel. Démontrer que:
a) si a est pair, alors a2 est pair.
b) si a est impair, alors a2 est impair.
II Démonstration de l'irrationalité de 
2.
On utilise un raisonement par l'absurde. On suppose donc que 2 est rationnel, c-à-d qu'il existe des entiers naturels a et b, avec b
0, tels que 2= a/b où a/b est une fraction irréductible.
1) Verifier qu'alors a2= 2b2.
2) Quelle est donc la parité de a2? Déduire du préambule que a est pair.
3) On pose a=2a' avec a'
. Démontrer qu'alors b'= 2a'2 et en déduire que b est pair.
4) Déceler où se situe la contradiction en utilisant l'hypothèse et les questions 2) et 3).
5) En déduire que 2 est irrationnel.
Voilà. Merci à vous d'essayer de m'aider.
Et bon courage.
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Si quelqu'un était assez motivé pour essayer... merci
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Merci beaucoup B3n.
Si jamais tu peux m'aider pour la suite, c'est pas de refus.
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Ou si quelqu'un d'autre peut m'aider pour la suite, après tout... 
Soit a un entier naturel pair:
a>0
a²>0
Soit a un entier naturel impaire:
a>1
a²>1
Mais je sais pas si ça suffit...
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Ben aparement, y faut voir avec l'énoncé mais je vois pas ce qu'il faut citer. Sinon, le I est fait et c'est le theoreme que tu viens de m'écrire qui m'a servi.
Et en fait, il faut démonter que a est pair et c'est là tout le probleme...
Pour le 2)
Tu as: a²=2b² où b² est un entier naturel. Cet entier naturel multiplié par 2 donnera forcément un entier naturel pair d'où a est pair!
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
a oui, exact! merci beaucoup
Citation :
3) On pose a=2a' avec a'. Démontrer qu'alors b'= 2a'2 et en déduire que b est pair.
3) On pose a=2a' avec a'. Démontrer qu'alors b'= 2a'2 et en déduire que b est pair.
Je vois pas trop ce que représente b' ici!
En ce qui concerne la parité c'est le même travaille! b' est pair!
tu as donc a et b deux entiers naturels pair tel que V2=a/b! Or dans ce cas ci, a/b est simplifiable! et on te dit dans ton hypothèse que la fraction est irréductible donc cette V2 est un irrationnel
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
perso, je vois pas non plus ce que b' vient faire ici...
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
oké... j'te laisse jusqu'à demain soir pour terminer de m'aider: après, c'est ma mise à mort xD'ay
Ma vie est entre tes mains B3n 
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
Il me reste les questions 3,4 et 5 du II...
J'ai beau demander a toute ma famille et à des amis, personne ne comprend la question 3 ce qui me bloque pour la suite.
Si quelqu'un voit ça, merci de me repondre: je doi rendre ceci demain =S
Bonjour
II
3) On pose a=2a' avec a'. Démontrer qu'alors b = 2a'2 et en déduire que b est pair.
On a : a²=2b² alors 4a'²=2b² => b² = 2a'² donc b² est pair et par conséquent b aussi d'apès II 2)
4) Déceler où se situe la contradiction en utilisant l'hypothèse et les questions 2) et 3).
2) et 3) => a et b pairs non nuls, donc a/b est simplifiable;
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse "a/b est une fraction irréductible"
5) En déduire que 2 est irrationnel.
donc il n'existe pas d'entiers naturels a et b, avec b>0, tels que V2= a/b
d'où V2 n'est pas un nombre rationnel.
A plus
Posté par little-pea (invité)re : Problème sur l'irrationnalité de racine carrée de 2.
merci a vous mais ça y est, je l'ai bouclé cet après-midi. En tout cas, vous m'avez bien aidé et un copain de ma classe m'a débloqué pour la question 3: tout est résolu. J'espere que mon DM est bien réussi.
=D Merci à Vous (Surtout toi B3n =S)
Posté par dalija (invité)petite question
Bonsoir tout le monde.
J'ai le même sujet à faire que toi little-pea
Je suis d'accord avec vous mais il ya le II c) que je ne comprends toujours pas.
On pose a= 2a'
démontrer que b' = 2a'^2
je suis d'accord avec Lamine sur le fait que
''4a'²=2b² => b² = 2a'² donc b² est pair et par conséquent b aussi d'apès II 2)''
il est juste que b^2= 2a'^2
mais qu'est ce qui prouvre que b^2= b'
Voilà, j'espère simplement avoir une explication ou que quelqu'un rectifie.
dalija
merci d'avance
ps : bravo aux admins de ce forum, il est très bien !