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Posté par
gilles3 03-10-09 à 15:20

Bonjour,

je coince sur un exercice

Soit m un entier naturel impair. On pose \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}.

On veut prouver que \forall a \in C, \displaystyle{a^m+1=\prod_{k=0}^{m-1} (a+\omega^k)}.

J'ai essayé le principe de télescopage pour les produits, mais ça n'aboutit pas:

\displaystyle{\prod_{k=0}^{m-1} \frac{a+\omega^{k+1}}{a+\omega^k}=\frac{a+\omega^{m}}{a+\omega^0}}=1

Après je vois pas trop comment s'en sortir.

Posté par
Camélia Correcteurre : Produits 03-10-09 à 15:23

Bonjour

Cherche les racines du polynôme z^m+1 et écris sa factorisation. (Dans \omega, n'y aurait-il pas un m)

Posté par
gilles3re : Produits 03-10-09 à 15:54

oui c'est m au lieu de n.
Tu as probablement raison, je vais essayer.

Posté par
gilles3re : Produits 03-10-09 à 16:07

Donc z^m +1=0 \Leftrightarrow z^m=-1.

On a R_m (-1)= \left\{ e^{i\frac{(2k+1)\pi}{m}} ~| 0 \leq k \leq m-1 \right\} = \{ \omega, \omega^3, ..., \omega^{2m-1}\}, avec \omega=e^{i\frac{\pi}{m}}.

Donc z \in R_m (-1) \Leftrightarrow \exists k \in \{ 1,3,..., 2m-1\} tel que z=\omega^k.

soit z = \omega^k, avec k \in \{ 1,..., 2m-1\}.

Le polynôme z^m+1 possède m racines distinctes.

Posté par
Camélia Correcteurre : Produits 03-10-09 à 16:09

OK... Mais surtout tu sais que si un polynôme unitaire de degré m a pour racines z_1,...,z_m alors P(z)=\prod_{k=1}^m(z-z_k)


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