Salut.

On peut trouver une preuve du petit théorème de Picard dans le Rudin, mais elle n'est pas vraiment élémentaire ...
Quant au grand théorème, je n'en connais pas de preuve, mais il me semble que ça se démontre en utilisant la théorie des surfaces de Riemann.
Du coup, j'ai peu d'espoir qu'il existe une démonstration de niveau licence ...

Pour le théorème de Wielandt, je ne le connaissais pas, mais en cherchant un peu sur le net, j'ai trouvé ça :
Je ne l'ai pas étudié en détail, donc reste vigilant, mais ça doit surement être correct.

Bonjour

Je n'ai pas voulu changer la couleur du topic hier... Moi non plus je ne crois pas à l'existence de preuves faciles des théorèmes de Picard. J'en ai une tout à fait abordable du théorème de Weierstrass (au voisinage d'une singularité essentielle, l'image de tout disque pointé est DENSE dans C mais c'est quand même beaucoup plus faible).

Pour le grand théorème de picard:
et la correction: .

Salut Ayoub, ... eh ben...

Bonsoir,

Arkhnor: Je te remercie pour le Wielandt. Je vais regarder ça plus en détail (mais j'avoue que l'anglais, bien que le texte soit compréhensible, me gène un peu)....Sinon qu'est-ce que "Rudin"?

Camélia: En fait, pour être honnête, j'aurais du préciser que j'ai créé ce sujet parce que je savais qu'il en existait des preuves élémentaires. Je m'explique: à mon partiel d'analyse complexe, l'objet du problème était de démontrer le petit théorème de Picard. Vu que je n'ai pas tout fait (il faudra d'ailleurs que je regarde ça en détail), je ne peux pas dire que je la connais. Mais ça sera bientôt le cas. Cependant le point important est qu'une preuve élémentaire existe bien. Ce qui me fait largement penser que les autres théorèmes (bien que leurs têtes disent parfaitement le contraire tant ils sont surprenants) ont des preuves élémentaires (par "élémentaire", j'entends L3). Pour le petit picard, j'espérais tomber sur une deuxième démo pour vraiment visualiser ce qui se passe et ce qui fait que ça marche et cela de plusieurs façons différentes. Comme en découvrant le petit (j'avais fait quelques recherches sur le petit théorème), je suis tombé sur le grand, qui est tout aussi bizarre, ma curiosité m'a donc poussé à demander cette preuve également. Sinon je connais le théorème de Weierstrass et "sa" preuve (vu en cours).

1 Schumi 1: Oui c'est tout à fait ce genre de démo que je cherchais! Merci infiniment (surtout pour la correction...)

Un joli sujet pour un examen. (comme quoi tout est possible)

Je faisais référence au livre "Analyse réelle et complexe", de Walter Rudin, un classique.

Pour l'anglais, c'est qu'une question d'habitude : il y a encore un an, j'aurai rechigné à l'idée de lire une preuve en anglais, alors que maintenant lire un livre de maths en anglais ne me dérange pas.
Il y a juste un peu de vocabulaire à assimiler, après ce sont toujours les mêmes phrases qui reviennent. (comme les maths en français ...)

Ok, Je vais essayer de trouver ce livre.....mais je crois que ça va dépasser jusqu'au M1 voire M2 non?


Ouais pour l'anglais, j'ai déjà du commencé un peu (obligé :/)....je dois admettre que c'est pas toujours super agréable, mais ça passera avec le temps....

C'est du niveau M1 globalement, mais pas mal de choses sont accessibles en L3. (la théorie de Lebesgue, et les bases sur les fonctions holomorphes et harmoniques)

Courage pour l'anglais, tu ne le regretteras pas.

Sinon, je viens de me rendre compte que le sujet de la fimfa ne démontre pas tout à fait le grand théorème de Picard. Peut être que la forme est proche mais je ne vois pas le lien....

Grand Picard dit qu'au voisinage d'une singularité essentielle, une fonction holomorphe prend toute valeur de C une infinité de fois (sauf un éventuellement)...

Alors que là on montre que la boule de rayon s (pour tout s dans ]0;1[) privé de 0 à pour image C (éventuellement privé d'un point) par f (f holomoprhe sur b(0,1)\{0} avec une singularité essentielle en 0).

Ce résultat entraine l'autre.
Si on a trouvé tel que , on se place dans la boule de rayon , et on trouve une solution , puis on se place dans la boule de rayon , ...

Mais ça ne dit pas que la valeur est prise une infinité de fois.....il faudrait assurer que la valeur soit prise par des antécédents différents, ce qui n'est pas forcément le cas.....

Ben si, puisqu'à chaque fois que j'ai un antécédent, j'applique le raisonnement à une boule plus petite, qui ne contient pas les antécédents précédents ...

Ha?....pourquoi la boule est plus petite?

ha ok, j'ai rien dit.....

Merci