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Niveau Licence Maths 1e ann
Racine cubique d'un complexe
Posté par marie1991
Bonjour à tous!
J'aurais besoin d'aide pour un exercice qui fait intervenir la racine cubique d'un nombre complexe:
Résoudre dans l'équation: z3=(1/4)(-1+i) et montrer qu'une seule de ses solutions a une puissance quatrième réelle.
J'ai d'abord mis le complexe sous la forme exponentielle ce qui me donne (1/4)(
2)e(3i
/4)
Donc z3= (1/2)3(ei/4)3
Pour moi, logiquement z=(1/2)(ei/4)
Mais dans la "seule ligne" de correction que j'ai, il est écrit: zk=(1/2)e(i/4)+(2ik/3)
Je ne comprends pas pourquoi...
Quelqu'un peut-il m'éclairer? Et m'expliquer comment m'y prendre pour la suite de l'exercice?
Merci d'avance
Marie
Bonjour,
L'argument d'un nombre complexe est toujours modulo 2, donc l'argument de (1/4)(-1+i) est en réalité l'ensemble des 3/4 +2k pour k
.
D'où l'argument de z : (3/4 +2k)/3 = /4 + 2k/3, k
En fait, et c'est important pour la question suivante, il n'y a que 3 valeurs de k qui conduisent à des résultats distincts, et qui sont les 3 racines cherchées :
ce sont k = 0, 1, 2
Toutes les autres valeurs de k conduisent sur des résultats qui retombent à un multiple de 2 près sur ces 3 valeurs.
Donc les arguments cherchés sont :
/4 + 2k/3, k{0,1,2}
Pour la suite, il faut que tu élèves ce résultat à la puissance 4, l'argument sera alors :
Arg(z4) = 4(/4 + 2k/3), k{0,1,2}
= + 8k/3, k{0,1,2}
Pour que z4 soit réel, il faut et il suffit que son argument soit multiple de , donc ici que 8k/3 soit multiple de , donc que 8k/3 soit multiple de 1, donc entier, donc que k soit multiple de 3.
La seule solution admissible dans les valeurs possibles de k (qui sont 0,1,2) est k = 0
Bonjour,
Et bien en général lorsque tu as une équation du type où a est un nombre complexe, celle-ci admet plusieurs solutions appelées racines n-ièmes de l'unité.
Ton raisonnement est le bon au départ, il faut mettre ton a sous forme exponentielle, ce qui donne :
Ensuite à poser : et on cherche ces fameux
et
...
donc tu as :
Par identification du module et de l'argument : et
avec
Tu continues et tu trouve et
avec
(logique car si tu calcules k = 3 tu reviens au cas k = 0 etc...)
Donc les racines 3ièmes de l'unité sont de la forme :
avec