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racine de complexe

Posté par
keriatsu 22-12-08 à 12:14

Bonjour.

Voici l'exo :

Trouver les racines de carré de (1+i)/sqrt{2}

je trouve bien :

e^{i \pi/8}

La question d'après est : en déduire les valeur de cos() et sin(/8).

Ca, je sais pas faire. Merci de votre aide

Posté par
gui_toure : racine de complexe 22-12-08 à 12:18

Salut

utilise la formule d'Euler 3$\forall x\in{\bb R},\;e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)

Posté par
raymond Correcteurre : racine de complexe 22-12-08 à 12:22

Bonjour.

Pour les "racines carrées" de \fra{1+i}{\sqrt 2} tu as deux solutions :

3$e^{i\fra{\pi}{8}} ou 3$e^{-i\fra{\pi}{8}}

Maintenant, tu dois résoudre algébriquement l'équation : z² = \fra{1+i}{\sqrt 2}

Posté par
keriatsure : racine de complexe 22-12-08 à 15:11

Ca nous donne ca ? :

notons\ z = a + ib
(a + ib)^2 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}
a^2-b^2+2ab=\frac{1+i}{\sqrt{2}}


On obtient donc ce système :


\{{a^2-b^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\atop 2ab=\frac{1}{\sqrt{2}}

Peut on aussi rajouter que

a^2+b^2 = (|\frac{1+i}{\sqrt{2}}|)^2  ???

Car cela me simplifierais grandement la vie.

Posté par
raymond Correcteurre : racine de complexe 22-12-08 à 16:24

Exactement. Tu remarques que a² + b² = 1


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