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Racine n-ième

Posté par
PloufPlouf06 06-09-08 à 17:06

Bonjour à tous,

J'ai un peu de mal à résoudre cet exercice :

1) Résoudre 3$(z+1)^n=e^{2in\alpha}

2) Calculer 3$\prod_{k=0}^{n-1}sin(\alpha +\frac{k\pi}{n}



J'ai trouvé la première question : 3$\rm z=\({e^{i(\alpha+\frac{k\pi}{n})}}\)^2-1, k\in \[0;n[.

Par contre je n'arrive pas à faire le lien avec la deuxième

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 06-09-08 à 18:22

Salut !

Je connais une méthode pour calculer \Bigprod_{k=1}^n sin(\frac{k\pi}{n})

Il faut remarquer que sin(\frac{k\pi}{n})=-\frac{exp{-\frac{ik\pi}{n}}}{2i}(1-exp{\frac{2ik\pi}{n}})

Essaye de voir si tu peux adapter ceci !

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 06-09-08 à 20:23

Effectivement, ça marche pas mal.

Je tape tout ça dans la soirée !

A+

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 06-09-08 à 22:12

Re,

Voilà la première partie :

4$sin(\frac{k\pi}{n}+\alpha)=\frac{exp{i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}-exp{-i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}}{2i}

4$sin(\frac{k\pi}{n}+\alpha)=-\frac{exp{-i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}}{2i}(1-exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)})

Donc 4$\Bigprod_{k=0}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n}+\alpha)=\Bigprod_{k=0}^{n-1}\(-\frac{exp{-i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}}{2i}(1-exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)})\)

Donc 4$\Bigprod_{k=0}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n}+\alpha)=\frac{(-1)^n}{2^ni^n}\Bigprod_{k=0}^{n-1}exp{-i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}\Bigprod_{k=0}^{n-1}(1-exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)})

Or, 4$\Bigprod_{k=0}^{n-1}exp{-i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)}=exp{-i\alpha}\Bigprod_{k=0}^{n-1}exp{-i\frac{k\pi}{n}}=exp{-i\alpha}exp{-i\frac{\pi}{2}(n-1)}

Reste à calculer 4$\Bigprod_{k=0}^{n-1}(1-exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)})

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 06-09-08 à 22:20

On reconnait dans ce produit le nombre 4$exp{2i\frac{k\pi}{n}} qui sont les racines 4$X^n-1

Donc les 4$exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)} sont les racines de 4$X^n-exp{2in\alpha}

Donc les 4$1-exp{2i(\frac{k\pi}{n}+\alpha)} sont les racines de 4$(1-X^n)-exp{2in\alpha}

Donc le produit recherché est le produit des racines de ce polynôme.

Or, on connait les relations coefficients/racines pour un polynôme.

Pour trouver le produit des racines, il suffit en effet de connaître le coefficient dominant et le coefficient constant, que tu trouveras grâce au binôme de Newton.

Voilà

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 06-09-08 à 23:45

Tu me diras ce que tu trouves !

Posté par
PloufPlouf06re : Racine n-ième 07-09-08 à 14:55

Bonjour,

En développant (1-X)^n-e^{2in\alpha} le coefficient dominant est 1, et le coefficient constant est 1-e^{-2in\alpha}.

On en déduit donc que 3$\red\fbox{\Bigprod_{k=0}^{n-1} sin(\alpha+\frac{k\pi}{n})=e^{-i(\frac{\pi}{2}(n-1)+\alpha)}(1-e^{-2in\alpha})}.

Sauf erreur
Merci pour ton aide

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 07-09-08 à 14:57

Je te fais confiance pour les calculs, le principal c'est d'avoir compris la méthode ^^

De rien !

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 07-09-08 à 14:59

Ce qui me semble bizarre, c'est qu'on fait le produit de nombres réels ... donc on devrait trouver un réel ...

Posté par
scrogneugneure : Racine n-ième 07-09-08 à 14:59

Après ça se simplifie peut-être !


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