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Racine nièmes

Posté par
jojo403 27-10-08 à 16:22

Bonjour, me voilà encore bloqué sur un exercice de mon DM.

Résoudre dans C l'équation : (z+1)^n = e^{2in\alpha} (En faite c'est téta au lieu de alpha mais je n'ai pas réussi à le faire en latex )

Je commence donc à résoudre l'équation et je tombe sur :
\{{p=1\atop\alpha=2\alpha+\frac{2k\pi}{n}

J'ai auparavant effectué un changement de variable en posant Z = z+1, pour trouver les racines de Z puis ensuite celle de z.
Mais malheureusement mon raisonnement ne mène à rien car je dois ensuite montrer que le produit des racines vaut : (-1)^n(1-e^{2in\alpha}).

Bon après midi.

Posté par
raymond Correcteurre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:15

Bonjour.

Ecris que le second membre est : 3$ exp(2in\alpha + 2ik\pi)

Alors, les solutions sont :

3$ z_k \ = \ exp(2i\alpha + \fra{2ik\pi}{n}) \ - \ 1 \ = \ exp(2i\alpha)exp(\fra{2ik\pi}{n}) \ - \ 1 \ , \ 0 \le \ k \ \le n-1

Connais-tu les relations entre coefficients et racines ?

Posté par
jeansebre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:18

bonsoir

effectivement,

3$\rm z = -1+ e^{2\theta+\frac{2k\pi}{n}

Ce qu'on te demande est un résultat de cours: la somme des racines d'un polynome est égale à (-1)na0/an

donc tu écris ton équation (z+1)^n%20 - %20e^{2in\alpha}= 0

et tu constates que a0 = 1 et an = 1 - %20e^{2in\alpha}

D'où la conclusion.

Non?

Posté par
jeansebre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:19

Bonsoir Raymond !

Posté par
jojo403re : Racine nièmes 27-10-08 à 17:21

Bonjour, et merci pour votre réponse.
J'étais en effet arrivé à votre résultat, et non je ne pense pas connaître les relations entre coefficients et racines.

C'est peut-être la raison pour laquelle je ne vois pas du tout comment en déduire que le produit des racines vaut : (-1)^n(1-e^{2in\alpha}) ?

Posté par
raymond Correcteurre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:28

Tu as la décomposition classique d'un polynôme :

3$\textrm (z+1)^n-exp(2in\alpha) = \Bigprod_{k=0}^{n-1}(z - z_k)

Remplace maintenant z par 0.

Posté par
raymond Correcteurre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:29

Bonsoir jeanseb

Posté par
jeansebre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:37

Pour comprendre cette relation: soit P(x) = anxn+ .....+a1x + a0

si 1, 2, ....n sont les n racines du polynome, alors le polynome se factorise en:

an (x-1)(x-2)....(x-n)

en développant cette factorisation, tu regardes juste le terme constant, à la fin: il est égal à:

an (-1)(-2)....(-n) soit an(-1)ni

donc an(-1)ni = a0

OK?

Posté par
jojo403re : Racine nièmes 27-10-08 à 17:50

Merci, je comprends ces relations dans le cas général, malheureusement je ne vois pas comment les appliquer à mon problème car je n'ai jamais traiter ce genre d'exercice en cours, et je pense que c'est le but du DM. Vos démonstrations me paraissent claire mais le "MONTRER QUE" me gène dans la consigne de l'exercice.

Je vais essayer de reprendre l'exercice.

Merci encore pour la clarté et la rapidité de vos réponses.

Posté par
raymond Correcteurre : Racine nièmes 27-10-08 à 17:52

Revois ma réponse : elle n'utilise que la factorisation d'un polynôme connaissant ses racines.

Posté par
jojo403re : Racine nièmes 27-10-08 à 18:00

Pourquoi remplacer z par 0 dans votre équation ?

Posté par
jeansebre : Racine nièmes 27-10-08 à 19:03

Pour avoir zk, c'est a dire ce que tu cherches  (avec (-1)n devant cependant).

Posté par
Giuvralre : Racine nièmes 28-10-08 à 13:56

Salut,

Désolé pour le HS, jojo, n'étudierais tu pas à Brest par hasard ?


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