Bonsoir,

As-tu essayé de composer par le logarithme?

Bonsoir,

Je pense que c'est possible en utilisant l'écriture exponentielle
car 3^n/n! < 1/2^n équivaut à  3^n/n! - 1/2^n < 0 (==) (e^5ln(n)-n!) / n!(e^2ln(n)) < 0
et là on remarque que le dénominateur est toujours positif et pour le numérateur on pose que c'est inférieur à 0
on aura e^5ln(n)< n! qui est la même chose que 5^n < n!
on vérifie alors si l'égalité est vraie au 1er rang C-a-d au rang n=15 ( on se rend compte que c'est vraie )
on suppose alors que c'est vraie au rang n, on utilise ensuite l'expression 3^n/n! < 1/2^n pour montrer que c'est vrai au rang n+1, on procéderas comme ci dessus et tu auras (e^5ln(n+1)-(n+1)!) / (n+1)!(e^2ln(n+1)) < 0
de même que ci dessus là le dénominateur est aussi toujours positif et le numérateur on aura en transformant l'exponentielle par 5^(n+1) < (n+1)! (===) 5(5^n) < (n+1)n!
on a 5 < n+1 et 5^n < n! le produit à gauche est inférieur au produit à droite donc c'est vraie au rang n+1 aussi
  et enfin comme conclusion,  pour tout entier n supérieur ou égal à 15,

3^n/n! < 1/2^n

Bonsoir,

La difficulté est de montrer que
3^n/n! < 1/2^n, pour n=15 ,
sans calculette ou autre moyen de calcul.

Si vraie pour n = 15 ,alors si vraie p >15
3^(p+1)/(p+1)!=3^p/p!*(3/(p+1))
et    1/2^(p+1) = 1/2^p*(1/2)

Gauche*(3/(p+1)) < Droit*(1/2)




Alain

Bonsoir,

Tu dois prouver   6ⁿ < n ! .

Pour  n  = 15  d'après ce que tu dis ,  15 ! =  15 x 14 ...7 x6 .....x1 >  6x6  ..x 6  , l'exposant de  2 à gauche est  7 (nombre de pairs) + 3 (nombre de multiples de 4) + 1 (nombre de multile de 8) =  11  ,
l'exopsant de 3 est   5 (multiples de 3 inférieur à 15) + 1 (multiples de 9) = 4 .

Ensimplifiant par les puissance de 2 et 3 il suffit donc que  5 x 7 x 13 x 11 x 5 x 7 x 5  > 2 x  3¹¹
5 > 2x3  donc il suffit que  7 x13 x11 x 5 x5 x7 > 3¹⁰  , mais  5 x7 =35 > 3³ 13 > 3x3 , 11 aussi donc reste  7x5 > 3³  ce qui est vrai.

Bonjour,

prouver   6n < n ! .J'étais arrivé à cela.

D'accord pour ta solution,

Alain

salut

pour le plaisir ::: version minimaliste ... mais non suffisante pour obtenir 15 ....


6ⁿ < n!  <==> nln(6) < _k=1ⁿ ln(k)  (1)

or ln est concave donc sa courbe est au dessus de la droite passant par (1, ln(1)) et (n, ln(n)) qui a pour équation y = [ln(n)/(n-1)](x - 1)

donc ln k > [ln(n)/(n-1)] (k - 1) = (n/2) ln n

donc pour avoir (1) il suffit d'avoir 2ln 6 < ln n soit n > 36

....


lolo271 ::: 5 > 2*3 ..... ?

Certes .....   mais si personne ne le voit ça passe.

ouais et il y a bien un facteur restant supérieur à 5/6 ....

... pardon 6/5 ...

Je reprends donc  à :   5 x 7 x 13 x 11 x 5 x 7 x 5  > 2 x  3¹¹

ssi   (5/6) x 7 x13 x11 x 5 x5 x7 > 3¹⁰  mais  5 x7 =35 > 3³,  13 > 3x3 , 11 aussi donc reste

(5/6) 7x5 > 3³   suffit que  (5/6) > 27/ 35 soit  175 >   162  ouf .