Bonsoir,

Je dois démontrer par RECURRENCE la propriété suivante, pour n entier naturel différent de 3, "10ⁿ-1=9p".

Si la méthode n'avait pas été imposée j'aurais tout simplement utiliser les congruences et répondu à la question en quelques secondes, sauf que je dois obligatoirement raisonner par récurrence... Du coup je bloqueun peu.

Voilà ce que j'ai fait :

* Initialisation : pour n=0

10⁰-1=1-1=0
Par contre je ne peux pas dire 9p=0 donc comment montrer qu'on a bien 10ⁿ-1=9p pour n=0 ?

Il est bien sûr logique que 0 soit divisible par 9 mais comment continuer l'initialisation ?

* Hypothèse de récurrence : on suppose vrai pour un certain rang n : 10ⁿ-1=9p.

* Hérédité : a-t-on 10ⁿ⁺¹-1=9p

J'ai pensé à faire :

10ⁿ-1=9p
10ⁿ⁺¹-10=90p
10ⁿ⁺¹-1=9(10p+1)

Et là on a 10p+1 qui est en entier donc 10ⁿ⁺¹-1 est bien divisible par 9 mais je ne peux pas écrire 10ⁿ⁺¹-1=9p puisqu'il ne s'agit pas du même p...

Bref, peut-être que je ne suis pas clair mais c'est normal, ce n'est pas clair pour moi !

Donc si quelqu'un peut me venir en aide ? Merci d'avance !