Bonjour,

Que dit la formule : (cis )² = cis(2)

(cos + i sin )² = cos(2) + i sin(2)

(cos² - sin²) + 2i.sin cos = cos (2) + i sin(2)

Donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, on a  : cos(2) = cos² - sin²  et  sin(2) = 2 sin cos


Idem pour 3.

(cis )³ = cis (3)
...

La question est de pouvoir écrire sin³ en n'obtenant dans la réponse que des angles 2 ou 3.


J'en arrive à quelque chose comme ceci, mais je n'ai pas encore vérifié.

En bref, tu as 4 formules que je te donnes sous une forme intéressante pour la suite.
J'espère que tu les as trouvées ou que tu peux les retrouver.

sin3 = 3sincos² - sin³    (1)
cos3 = cos(4cos² - 3)    (2)
sin2 = 2sincos    (3)
cos2 = 2cos² - 1    (4)

De (1), tu extrais sin³ = 3sincos² - sin3 = 3(sincos).cos - sin3     (5)

De (3), tu extrais : sincos = que tu remplaces dans la parenthèse de (5).

Il ne reste qu'a trouver cos pour le remettre également dans (5).

Par (2), tu as : cos = avec 4cos² - 2 = 2cos2 (en utilisant (4))

Donc cos = que tu remets comme prévu dans (5).

Et je crois que le tour est joué :


Il y a probablement d'autres solutions possibles, mais restons-en là, si tu veux bien...

Alors je te remercie 1000 fois de t'être donné ce mal pour moi!

Cependant j'ai juste un petit soucis au niveau des formules...

Pas de problèmes pour la (3) et (4) mais j'ai du mal a trouver d'où sortent la (1) et (2)..

Moivre : (cos + i sin )³ = cos(3) + i sin(3)

cos³ + 3icos².sin - 3cossin² - i.sin³ = cos(3) + i sin(3)


(cos³ - 3cossin²) + i.(3cos².sin - sin³) = cos(3) + i sin(3)


Donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, on a  : cos(3) = cos³ - 3cossin² = cos³ - 3cos(1 - cos²) = 4cos³ - 3cos = cos(4cos² - 3)
et  sin(3) = 3cos².sin - sin³


Voilà pour (1) et (2)

N.B. : Il fallait savoir que (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

que i² = -1   et   que i³ = -i ...

Oui je viens de refaire mes calculs a l'instant ou je vois ton message!

Merci pour ton aide précieuse!

Après réflexion, je me suis dit qu'à part pour le plaisir intellectuel, cet exercice n'a aucun intérêt.
Mais en ce qui concerne les intégrales, il est parfois utile de linéariser des fonctions trigonométriques et entre autres, la fonction sin³x.

Moralité, de tout ceci, seule la formule (1) serait intéressante.
sin3 = 3sincos² - sin³ = 3sin(1 - sin²) - sin³ = 3sin - 3sin³  - sin³ = 3sin - 4sin³.

Autrement dit : sin3 = 3sin - 4sin³ ce qui donnerait : .

Et cette formule-là est intéressante pour les maths ! L'autre, .... bof


Je te conseille de prendre bonne note de cette remarque

Je vais aller dormir