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résoudre z^(3)= w (z et w complexes)

Posté par
kkhuette76 03-11-08 à 13:30

Bonjour!!

voici mon exercice :
on m'a fait calculer w (sous forme trigo évidemment)
w = (22)(cos(3/4)+isin(3/4))

on me demande alors de résoudre z3=w

j'ai donc écrit :
soit r module de z : r3=2V2
soit argument de z : 3=3/4 + 2k

en posant r = (22)1/3 j'obtiens r=2
mon probleme se pose pour ...
comment touver et sous la forme (a/b + ck) ?

Merci d'avance!

Posté par
jeansebre : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 03-11-08 à 13:37

Bonjour

ce n'est pas 3=3/4 + 2k

mais 3. =3/4 + 2k

car la multiplication des complexes donne une multiplication pour les modules, mais une addition d'angles.

Tu n'as plus qu'a diviser par 3...

Posté par
kkhuette76re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 03-11-08 à 17:33

haaa oui c'est vrai...

je trouve alors 3 solutions pour k=0, k=1 et k=2
dont une est 2(cos(11/12)+isin(11/12)) (pour k=1)

on me demande ensuite de montrer que les solutions sont 1+i, (1+i)j et (1+i)j2 en posant j=ei2/3 pour en deduire les valeurs exactes de cos(11/12) et de sin(11/12)..

J'avoue que je suis un peu perdue..

Posté par
nemesissifortixre : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 18:54

Bonjour
Je ne peut pas vraiment t'aider, je suis arriver au même point que toi, je si quelqu'un a une idée pour résoudre cela ? merci

Posté par
lexou1729re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 20:08

Bonsoir,

1+i=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}

(1+i)j=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}e^{\frac{2i\pi}{3}}=\sqrt{2}e^{\frac{11i\pi}{12}}

(1+i)j^2=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}e^{\frac{4i\pi}{3}}=\sqrt{2}e^{\frac{19i\pi}{12}}


Ce sont bien les solutions trouvées à la première question.
Pour répondre à la dernière question, intéresse-toi à la deuxième égalité.
Elle peut s'écrire :
(1+i)j=\sqrt{2}(cos(\frac{11i\pi}{12})+i sin(\frac{11i\pi}{12}))

\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i sin(\frac{\pi}{4})(cos(\frac{2\pi}{3})+i sin(\frac{2\pi}{3}))=\sqrt{2}(cos(\frac{11i\pi}{12})+i sin(\frac{11i\pi}{12}))


Tu simplifies par \sqrt{2} et tu remplaces les sinus et cosinus du membre de gauche par leur expression avec des racines.
La partie réelle du membre de gauche te donnera la valeur de cos(\frac{11i\pi}{12}) et la partie imaginaire ...

Posté par
lexou1729re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 20:10

la partie imaginaire te donnera le sinus souhaité.


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