Bonjour



Avec le petit théorème de Fermat on trouve facilement les restes de la division de par 5,7 et 11. Ensuite, théorème chinois!

D'après le petit horème de Fermat, on a :

p=5 divise 385 et donc : mais je ne sais pas quelle valeur de a.

Je ne connais pas le théorème chinois, je ne l'ai pas vu en cours !

allons-y sans théorème chinois...

tes résultats doivent quand même rester entre 0 et 384 (reste d'une division par 385)

7, 5 et 11 divisent 385 puisque

On a donc :
d'après le petit théoèrme de Fermat, 5 divise et on a : a = 1, 2 ou 3.

Je ne vois pas quel rapport avec le reste de la division euclidienne...

une puissance de 3 ne peut jamais être multiple de 5, de 7 ou de 11 ...

le petit théorème de fermat appliqué avec ces nombres à a=3ⁿ
me dit que 3⁴ⁿ-1 est multiple de 5 ; 3⁶ⁿ-1 est multiple de 7 et 3¹⁰ⁿ-1 est multiple de 11

cherchons un nombre proche de 774 qui soit à la fois multiple de 4, 6 et 10 ... c'est à dire multiple de 60 (leur ppcm)
on trouve 720 qui est sympa : 720=4*180=6*120=10*72
ainsi en adaptant les valeurs de n suivant les valeurs de p, on trouve que 3¹⁸⁰-1 est à la fois multiple de 5, de 7 et de 11... donc de leur produit puisque ces nombres sont premiers deux à deux.

donc 3⁷²⁰1[385]

et donc 3⁷⁷⁴3⁵⁴[385]

(erreur : il faut lire "on trouve que 3⁷²⁰..." à la place de la puissance 180 !!! pardon)

si je ne m'abuse, cela te donne 169 au final

MM

bjr,

ben moi j'ai un question presque similaire avec 3^164 divisé par 88

si j'ai bien compris votre raisonnement
étant donné que 88 = 2^3 * 11
daprès fermat j'obtient
11 divise 3^10-1 et 8 divise 3^7-1
cherche x proche de 88 tel ke x soit multiple du ppcm de 7 et 11 mais le truc c ke 11 et 7 sont premier entre eux je trouve pas cest quoi c le pti bémol ke jai

pouriez vous maider svp merci

non staw ! 8 n'est pas vraiment premier !

et je crois que tu n'as pas vraiment compris mon raisonnement !

pouriez mexpliquer paske je pense que je suis un peu largué

tu connais le petit théorème de Fermat ?

oui il dit que si p est premier et a un entier relatif alors p divise a^(p-1)-1 nn?

incomplet

a est un entier qui n'est pas multiple de p

alors là oui

et tu l'appliques avec p=8 toi... tu trouves que 8 est premier ?

non jai pas fais atention :s mais si jutilise pas fermat la comment je fais?

dans ton cas c'est beaucoup plus simple...

a=3¹⁶ n'est pas multiple de 11 et 11 est premier donc a¹⁰-1=3¹⁶⁰-1 est multiple de 11

par ailleurs 3²1[8]
donc 3¹⁶⁰1⁸⁰1 [8]
donc 3¹⁶⁰-1 est multiple de 8

comme 11 et 8 sont premiers entre eux

3¹⁶⁰-1 est multiple de 8*11=88

donc 3¹⁶⁰1 [88]
donc 3¹⁶⁴3⁴81 [88]

alors ?

oui la je comprend mieu

mais parcontre le a= 3^16 on la choisis comme sa de manière a avoir du 160 et a pa multiple de 11?

essaye de parler français s'il te plait, je ne comprends rien à ce que tu dis :?

allez, on reprend "mon" exercice !

On a .

Alors, d'après le petit théorème de Fermat, on a :
, et où on déterminera m, n et p.


Cherchons m :
Pour m=1, , impossible.
Pour m=2, , impossible.
Pour m=3, , impossible.
Pour m=4, , impossible.
Pour m=5, , donc on a : .

n :
analogue, et on trouve : pour n=7, et on a .

Je ne suis pas arrivé à déterminer p...

Or, .
D'où, par produit, on a .

Et on ne peut plus continuer !

non !
tu n'as pas compris !
mauvaise application du théorème de Fermat...

5 ne divise pas 3^m-1-1 ...

5 divise donc 3⁴ⁿ-1
de même
7 divise 3^6m-1
11 divise 3^10k-1

prends n=180 ; m=120 et k=72

Bonjour

Une autre méthode pour le premier problème : on part de 3 et on élève tout le temps au carré mod 385 :

3² 9 mod 385
3⁴ 81 mod 385
3⁸ 16 mod 385   (un petit calcul)
3¹⁶ 256 mod 385
3³² 86 mod 385 (un petit calcul)
3⁶⁴ 81 mod 385 (chouette, on retrouve 3⁴ !)
3¹²⁸ 16 mod 385
3²⁵⁶ 256 mod 385
3⁵¹² 86 mod 385

Comme 744 = 512 + 256 + 4 + 2, 3⁷⁴⁴ 86256819 169 mod 385 (petit calcul).

oui, c'est bien aussi Frenicle

mm

Merci.