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Série entière et fonction holomorphe

Posté par
Mathoumathieu 13-02-23 à 21:30

Bonsoir, j'ai un examen d'Analyse complexe bientôt et je m'entrainais sur un exercice mais je bloque sur la dernière question, j'aurais besoin de votre aide pour celle ci, et si possible de me confirmer si mes réponses aux questions précédentes sont justes.
Voici l'énoncé :

1) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière : \sum_{n=0}^{+ \propto }{\frac{z^{n}}{4^{n}(n+1)^{3}}}.

2) La fonction f : z \rightarrow  \sum_{n=0}^{+ \propto }{\frac{z^{n}}{4^{n}(n+1)^{3}}} est-elle holomorphe sur D(0,R) ?

3) Si oui, exprimer la dérivée f'(z) sous forme d'une série.

4) Calculer f^{(3)}(0).

Mes réponses :

1) Je trouve R = 4 en utilisant la règle d'Alembert.

2) La fonction f est holomorphe sur D(0,R) (propriété du cours).

3) La fonction f étant holomorphe sur D(0,R), on a pour |z| < R :
f'(z) = \sum_{n=0}^{+ \propto }n{\frac{z^{n-1}}{4^{n}(n+1)^{3}}}

4) Je trouve f^{(3)} =\sum_{n=0}^{+ \propto }n(n-1)(n-2){\frac{z^{n-3}}{4^{n}(n+1)^{3}}} mais évalué en 0 je trouve 0, donc je pense que c'est faux...


Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
carpediemre : Série entière et fonction holomorphe 13-02-23 à 22:07

salut

4/ pour n = 3 tu a bien le terme constant, non ?

Posté par
Mathoumathieure : Série entière et fonction holomorphe 13-02-23 à 22:46

Merci pour votre réponse ! Si vous ne m'avez pas repris pour les autres questions je suppose avoir donné les bonnes réponses.

Pour la 4), je me suis trompé je pense que la série doit commencer à n=3.
Dans ce cas là si je regarde le terme constant comme vous me l'avez conseillé, il est égale à : \frac{6}{4^{6}}, le reste vaut 0 et donc je pense que f^{(3)}(0) = \frac{6}{4^{6}}.

Je n'y avait pas pensé, surement à cause de mon erreur sur n...

Posté par
Ulmierere : Série entière et fonction holomorphe 13-02-23 à 23:52

Oui. N'as tu pas directement dans ton cours une formule qui dit que a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} ?

Posté par
Mathoumathieure : Série entière et fonction holomorphe 14-02-23 à 15:10

Oui je l'ai dans mon cours, je n'avait pas pensé à l'utiliser.

Merci pour votre aide !

Posté par
Ulmierere : Série entière et fonction holomorphe 14-02-23 à 16:58

Posté par
Razesre : Série entière et fonction holomorphe 14-02-23 à 21:56

Bonsoir,

Je suis curieux de savoir comment tu as pu démontrer que R=4?

Posté par
Razesre : Série entière et fonction holomorphe 14-02-23 à 21:58

Oublie ma question.


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