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Niveau Maths sup
simplification de somme
Posté par sonox
Bonjour
n un entier naturel non nul
on me demande de montrer que :
k=12n [(-1)^(k-1)]/k = k=1n 1/(n+k)
Or j'ai remarqué que le terme de gauche est la différence de la somme de l'inverse des impair et de la somme de l'inverse des pairs mais je n'arrive pas à récupérer le terme de gauche. Je suppose qu'ici la récurrence est impossible à cause de la somme.
Cordialement
ici la récurrence doit marcher :
pour n=1 la somme de gauche vaut 1/1-1/2 = 1/2
la somme de droite vaut 1/2 (un seul terme)
on suppose la propriété vraie au rang n
(on nomme A(n) le terme de gauche de l'égalité ci dessus et B(n) le terme de droite
pour n+1 on a alors :
A(n+1) = A(n) + 1/(2n+1)-1/(2(n+1))
et pour B(n+1) on remarque que B(n+1) comprend tous les termes de B(n) sauf le premier
en effet on a :
B(n) = 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(n+n)
B(n+1) = 1/(n+1+1)+1/(n+1+2)+1/(n++1+3)+...+1/(n+1+n-1)+1/(n+1+n)+1/(n+1+n+1)
d'où B(n+1)= B(n)+ 1/(n+1+n)+1/(n+1+n+1) - 1/(n+1)
or :
1/(n+1+n)+1/(n+1+n+1) - 1/(n+1)
=1/(2n+1)-1/(2(n+1))
et on a vu plus haut
A(n+1) = A(n)+1/(2n+1)-1/(2(n+1))
et d'après l'hypothèse de récurrence on peut conclure que B(n+1) = A(n+1)
