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Niveau Maths sup
Sommes de cubes.
Posté par FaresDjer
Bonjour, il y a-t-il un théorème qui dit que la somme des cubes inférieurs à un nombre donné n est de l'ordre de n ?
Autrement, peut-on minorer cette somme par un terme de la forme k*n où k est une constante ?
Merci d'avance.
bonsoir : )
Si tu as un énoncé tu le recopies à l'identique plutôt que de le raconter.
Ensuite, tu devrais savoir exprimer la somme en fonction de
.
Ce n'est pas un énoncé. C'est juste une question qui me turlupine un peu. De plus je parle de la somme des nombres qui sont des cubes parfaits et qui sont inférieurs à n. pour n= 30 c'est par exemple 1 + 8 + 27.
Tu ne sais pas ce qu'est un cube parfait alors recherche sa définition.
Mon précédent message te donne tout ce qu'il faut pour répondre à ta question alors relis le et réfléchis dessus.
Exercice : montrer que la somme des cubes parfaits inférieurs ou égaux à est équivalente à
quand
tend vers l'infini.
Indication : commencer par trouver un équivalent de quand
tend vers l'infini.
f(n) = (Somme de (1 à n) k³)/n
f(n) = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³)/n
f(n+1) = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n+1)³)/(n+1)
f(n+1) - f(n) = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n+1)³)/(n+1) - (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³)/n
f(n+1) - f(n) = [(1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) * (n - (n+1))]/(n.(n+1)) + (n+1)²
f(n+1) - f(n) = -(1³ + 2³ + 3³ + ... + n³)/(n.(n+1)) + (n+1)²
f(n+1) - f(n) = -(1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ - n(n+1)³)/(n.(n+1))
f(n+1) - f(n) = [n(n+1)³ - (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³)]/(n.(n+1))
f(n+1) - f(n) = [(n^4+3n³+3n²+n) - (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³)]/(n.(n+1))
f(n+1) - f(n) > [(n^4+3n³+3n²+n) - (n³ + n³ + n³ + ... + n³)]/(n.(n+1))
f(n+1) - f(n) > [(n^4+3n³+3n²+n) - n^4]/(n.(n+1))
f(n+1) - f(n) > [3n³+3n²+n]/(n.(n+1))
... et donc f(n+1) - f(n) > 0 et lim(n-->+oo) [f(n+1) - f(n)] = +oo
La suite f définie par f(n) = (Somme de (1 à n) k³)/n est strictement croissante et diverge.
La réponse à la question posée est donc : NON.
Sauf distraction et sous réserves d'avoir compris ce qui était demandé.
Non J-P, tu n'as pas compris : la somme des nombres qui sont des cubes parfaits et qui sont inférieurs à n, ce n'est pas la même chose que la somme des cubes des entiers inférieurs ou égaux à n.
Recomic35 @ 25-06-2016 à 07:07
Exercice : montrer que la somme des cubes parfaits inférieurs ou égaux à
est équivalente à 
quand tend vers l'infini.
Indication : commencer par trouver un équivalent de
quand 
tend vers l'infini.
Exercice : montrer que la somme des cubes parfaits inférieurs ou égaux à
Indication : commencer par trouver un équivalent de
On note Sn=
Merci !
Je propose : Pour tout entier k supérieur ou égal à 1 on a (k^4-(k-1)^4)/4≤k^3≤((k+1)^4-(k)^4)/4 Et donc ( (p)^4)/4≤Sn≤((p+1)^4)/4
Après il doit y avoir une histoire de distribution des cubes parfaits pour retrouver la somme originale
Je sais juste qu'au max il y a (n)^1/3 cubes parfaits, mais comment l'utiliser là
Tes notations ne vont pas : appeler quelque chose qui dépend de
et où
n'apparaît pas ...
Ensuite, si , alors
.
Merci pour votre réponse, et désolé pour la coquille.
J'ai tenté une autre approche, qu'en pensez-vous ?
On note Pn=1+2+....+E((n)^1/3), puis on montre que Pn est équivalente à (n)^(2/3)*1/2 en l'infini. De plus, on sait que (Pn)^2=1+8+.....+E((n)^1/3)^3 qui est la somme qu'on recherche. Et donc La somme qu'on recherche est équivalente à (Pn)^2=(n)^(4/3)*1/4.
Est-ce exacte ?
C'est plus compliqué que ce que je te proposais (il faut passer par le lien entre la somme des premiers entiers et la somme de leurs cubes), mais ça marche aussi.