Bonjour,
clairement, si tu as un sous groupe engendré par un élément premier avec 9, alors ??
Donc ...

Pourrais tu développer s il te plait je viens de reprendre des cours par correspondance donc tout n'est pas si évident pour moi?
Merci.

Suppose que k soit un nombre tel que 0<k<9, et que pgcd(k,9)=1, alors il existe x et y tels que
kx+9y=1 et notamment
kx=1 modulo 9

En particulier si le sous groupe contient 1, alors c'est le groupe au complet.

Il reste à traiter les autres cas et ils sont triviaux.

Bonjour,
Serais t il possible que tu me detailles toutes les solutions si ca ne te déranges pas?

Je ne vois pas quoi détailler de plus, je t'ai résolu l'exercice ... Il faut que tu travailles un peu.

Soit H un sous-groupe de G = /9. Pour tout n je poserai n* = classe de n modulo 9 de sorte que G = {0* , 1* , 2* , 3* , 4* , 5* , 6* , 7* , 8*}

Son cardinal divise card(G) = 9 donc Card(H) {1 , 3 , 9}.
Si Card(H) = 1 alors H = {0*} et si Card(H) = 9 alors H = G.

On remarquera que si n et 9 sont premiers entre eux alors le sous groupe engendré par n* est G tout entier, de sorte que si H contient l'un des éléments de {1* , 2* , 4* , 5* , 7* , 8*} on a H = G .
Remarque :Ici on peut faire une preuve en passant en revue les sous groupes engendrés par 1* , 2* , 4* , 5* , 7* , 8*. Mais cette façon de faire deviendra trop lourde si on remplace 9 par un grand nombre [2009²⁰⁰⁹ par exemple]. Il faudra alors utiliser un théorème .

Si H contient 3* il contient {3* , 6* , 9* = 0*} qui est un sous-groupe de G .

En conclusion : les sous-groupes de G sont {0} , {3* , 6* , 9* = 0*} et G.

Je te conseille de chercher les sous groupes de /12 pour t'entrainer

Je te remercie kybjm de ta réponse mais comme t'as pu le voir je fais des cours par correspondance mais là je n'arriva pas à piger le truc tous seul.
Je sens que je vais avoir une bulle à l exam.