Bonjour,
J'aurais besoin d'aide concernant un exercice sur le spirale de Pythagore.
Voici l'énoncé :
La figure ci-dessous représente une spirale de Pythagore. Les points A,B et C sont-ils alignés ?
Justifier votre réponse
Je ne sais pas comment m'y prendre mon répondre à la question ?
Sur cette figure tu peux connaître tous les angles et toutes les longueurs
Relis un peu ton titre ...
Ils ont tous un coté de longueur 1 et les deux autres cotés diminuent en taille car c'est une spirale
Bonjour
Tu peux calculer hypoténuse du premier triangle, Donc tu connais les deux côtés du deuxième.
Tu peux alors calculer son hypoténuse et réitérer.
Salut Jean ,
Donc si je comprends bien , j'applique le théorème de Pythagore pour chaque triangle .
J'ai fait le premier :
A'B²=BC²+A'C'
A'B²=1²+1²
A'B²=1+1
A'B=2
A'B=2 1,4
il n'y a pas besoin de valeur approchée
je t'invite à noter A1, A2, A3 = A, ..., A11 = C les sommets correspondants à l'angle droit des triangles
combien vaut BAk (hypoténuse des triangles rectangles)
dans quelle leçon se trouve cet exercice ?
Je dois appliquer le théorème de Pythagore pour chaque triangles ?
Je suis actuellement dans le chapitre de la trigonometrie
Les hypoténuses des triangles sont : 1er triangle = 1 ; 2=2 ; 3=3 ; 4=4 ; 5=5 ; 6=6 ; 7= 7 ; 8=8 ; 9=9 ; 10=10 ; 11=11
ok
maintenant on peut bien évidemment calculer l'angle des triangles de sommet B grâce à la trigonométrie mais on n'aura qu'une valeur approchée vu ces résultats
aussi je ne vois pas comment on peut faire pour la suite ...
Bonjour,
on pourra conclure si les valeurs approchées sont suffisamment précises ... (en gardant TOUTES les décimales de la calculette)
par exemple ne pas se contenter de atan(1/sqrt(5)) 24° mais la calculette de windows par exemple donne 24,094842552110700967071041634711
ton calcul est complètement faux
tu mélanges la signification des angles, des cosinus et des arc cosinus
de plus tu dois régler ta calculette en degrés si tu veux avoir des degrés
et enfin de quel angle parles tu ???
connais tu bien la définition, du cosinus ??
cosinus = coté adjacent / hypoténuse
le coté adjacent BA0 = 1, l'hypoténuse BA1 = 2 !!
le cosinus vaut donc 1/2
et l'angle arccos(1/2) = très précisément 45° (ce que l'on savait déja : triangle rectangle isocèle)
et qui ne sert à rien vu que on devrait commencer les calculs d'angles à partir du triangle suivant le point A (le 3ème triangle)
angle ABA3 de ma figure
qui pour des raisons purement géométriques (demi-triangle équilatéral) vaut très exactement 30°
(arccos(1/3))
D'accord , à l'aide des angles B des différents triangles comment pourrais-je justifier que les points A,B et C sont alignés ?
D'accord ,
1er triangle : arccos =3/4=30°
2 : arccos =4/5=26,56505118°
3 : arccos =5/6=24,09484255°
4 : arccos =6/7=22,2076543°
5 : arccos =7/8=20,70481105°
6 : arccos =8/9=19,47122063°
7 : arccos =9/10=18,43494882°
8 : arccos =10/11=17,54840061°
J'ai fait la somme de ces résultats et je trouve : 179,0269291°
donc on peut arrondir par excès pour être certain que l'angle est strictement inférieur à 179.03° donc inférieur à 180°
hello,
pour montrer qu'on est sûr de ne pas atteindre les 180°, on aurait pu peut-être arrondir à 2 chiffres après la virgule, toujours par valeurs supérieures, et montrer que même comme ça on n'atteint pas les 180
non ?
oui, complètement d'accord qu'on ne pouvait faire ça que dans un 2e temps, au vu de l'écart
merci pour ta réponse
D'accord,
Donc je garde 179,03° et je dis que les points A,B et C ne sont pas alignés car l'angle est inférieur à 180° ?
oui,
le sens dans lequel on effectue les arrondis (par excès ou par défaut) est fondamental pour pouvoir conclure
ici on effectue les arrondis par excès de sorte qu'on est certain que la vraie valeur de l'angle est strictement inférieure à la valeur arrondie, donc aussi à 180°.
Salut,
Remarque informative.
On peut faire une demonstration (calculs exacts) avec Xcas, GeoGebra ou autre.
A1:=point(-sqrt(3));B:=point(0);
triangle_rectangle(A1,B,1/sqrt(3),A2);
triangle_rectangle(A2,B,1/sqrt(4),A3);
triangle_rectangle(A3,B,1/sqrt(5),A4);
triangle_rectangle(A4,B,1/sqrt(6),A5);
triangle_rectangle(A5,B,1/sqrt(7),A6);
triangle_rectangle(A6,B,1/sqrt(8),A7);
triangle_rectangle(A7,B,1/sqrt(9),A8);
triangle_rectangle(A8,B,1/sqrt(10),A9);
angle(B,A9,A1) // renvoie la valeur exacte de l'angle ABC
approx(angle(B,A9,A1));approx(angle(B,A9,A1))*180/pi;
simplifier(ordonnee(A9)) // renvoie la valeur exacte de l'ordonnee de C
approx(ordonnee(A9))
je demande à voir ce que peut bien être la valeur exacte d'un angle, autrement que écrit sous forme d'un arc truc explicite.
par exemple la seule façon d'écrire la valeur exacte de l'angle aigu d'un triangle de côtés (le triangle bleu)
est écrit arctan, ou de façon équivalente en arc cos ou arc sin.
ça nous fait une belle jambe d'avoir une somme algébrique de racines carrées diverses dans une expression quasiment illisible de 6 lignes avec des coefficients genre 1911168384430658223954468 !
cette somme est elle nulle ou pas ?
toute la question est là !
la seule façon de le démontrer sans calculs d'approximation serait justement de prouver, par le raisonnement, qu'une telle somme n'est pas nulle.
conjecture (à ce stade) :
dans une spirale de Pythagore poursuivie aussi loin qu'on veut, il n'y a aucune paire de points alignés avec le centre.
tentative de preuve :
on utilise la formule étendue à une somme d'un nombre quelconque d'arc tangentes
et alors on a (prouvé) que la valeur exacte de l'angle sera de la forme
avec les ai, bi et k des nombres entiers, et les bi différents
il s'agit maintenant de prouver qu'une telle somme avec des bi tous différents n'est jamais nulle...
on est bien loin de l'exo niveau première !!
on est plutôt dans le supérieur, et encore, sur l'étude des sous corps de ...
pi n' a pas son mot à dire là dedans
il s'agit de prouver qu'une combinaison linéaire à coefficients non nuls de racines carrées d'entiers différents (non entières donc irrationnelles) est irrationnelle
on trouve couramment l'exo de prouver que est irrationnel,
de temps en temps de prouver de même que est irrationnel
on ne propose jamais de prouver que quels que soient x et y de * (entiers relatifs non nuls) est irrationnel
encore moins de le généraliser à un nombre quelconque de racines carrées d'entiers quelconques différents ...
PS en fait il s'agit d'étudier les extensions de corps
en particulier tout élément de ce corps peut s'écrire de façon unique sous la forme où les xi et les bi forment une base vectorielle de E sur
par exemple tous les éléments de peuvent s'écrire de façon unique , x,y,z,t
est une base vectorielle de sur
en particulier si et seulement si x = y = z = t = 0
Bonjour,
Bonjour Sylvieg,
Tu m'inquiètes ...
Et à juste titre !
J'avais lu 3.139 par excès alors que c'est 3.3139.
Désolé.
Admettons que je n'ai rien dit
mais là on est toujours "obligé" de terminer par un calcul approché
c'est ça qui "m'inquiétait" (sans excès)
faire confiance à Xcas qui affirme que son expression finale imbuvable ne peut pas se simplifier en 0 , c'est vu de mon côté un échec de raisonnement
qu'il (Xcas) nous en fasse la "preuve" par une approximation finale n'est pas satisfaisant.
même si utiliser une calculette (ou un logiciel) pour faire ces calculs d'une façon ou d'une autre est largement suffisant dans le cadre de l'exo de 1ère.
Bonsoir mathafou
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