Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
\sqrt{d} est irrationnel : question sur une preuve
Posté par Enkidu
Bonsoir,
Citation :
Proposition : Soit d un entier naturel ; on suppose que d n'est pas un carré parfait, alors
d est irrationnel.
Proposition : Soit d un entier naturel ; on suppose que d n'est pas un carré parfait, alors
d est irrationnel.J'ai une question sur une preuve de cette proposition qui est proposée par le livre que j'étudie, voici l'extrait qui me pose problème (en rouge) :
Citation :
On raisonne par l'absurde.
Supposons qued soit rationnel, alors 
avec a et b premiers entre eux.
En élevant au carré, il vient
.
Puisque d n'est pas un carré, il existe un facteur premier p et un entier k tel que :
avec p qui ne divise pas
. Alors 
donc 
. [...]
On raisonne par l'absurde.
Supposons que
d soit rationnel, alors En élevant au carré, il vient
Puisque d n'est pas un carré, il existe un facteur premier p et un entier k tel que :
avec p qui ne divise pas
. Alors Je ne comprends pas d'où vient cette déduction.
De mon côté, j'arrive à
Merci pour vos réponses
Je viens de voir qu'il y a une petite coquille dans mon message, je suis désolé, voici une correction :
Citation :
On raisonne par l'absurde.
Supposons que d soit rationnel, alors avec a et b premiers entre eux.
En élevant au carré, il vient.
Puisque d n'est pas un carré, il existe un facteur premier p et un entier k tel que :
avec p qui ne divise pas . Alors
donc 
. [...]
On raisonne par l'absurde.
Supposons que d soit rationnel, alors
En élevant au carré, il vient
Puisque d n'est pas un carré, il existe un facteur premier p et un entier k tel que :
avec p qui ne divise pas . Alors
Avec toutes mes excuses.
Je pense avoir compris, voici mon raisonnement :
p^(2k+1) divise a^2 or ce dernier n'a que des puissances paires dans décomposition en produit de facteurs premiers donc p^(2k+2) divise aussi a^2 (au moins).
Ainsi (p^(k+1))^2 divise a^2 donc p^(k+1) divise a.