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Subdivision de I.
Bonjour, j'aurais besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé (qui est très long, désolé) :
Soit I=[a,b] un segment, a
b.
On appelle subdivision de I tout (n+1)-uplet ω=(x0,x1,...,xn) où n
, x0=a, xn=b et 
k[1,n], xk-1<xk (où [1,n] est un intervalle d'entiers). Par exemple, si a=b, (a) est la seule subdivision de I (obtenue avec n=0 et x0=a).
Si fF(I,
) et si ω=(x0,x1,...,xn) est une subdivision de I, on note V(f,ω )=
k=1n|f(xk)-f(xk-1)|.
On pose Vab(f)={V(f,ω )|ωΩ(I)} où Ω(I) est l'ensemble des subdivisions de I.
On dit que f est à variations bornées sur I ssi Vab(f) est majoré. Et on pose, dans ce cas, Vab(f)= SupVab(f).
On note VB(I) l'ensemble des fonctions à variations bornées sur I.
1) Soit fVB(I). Montrer que |f(b)-f(a)|Vab(f), que si J=[c,d] est un segment contenu dans I, alors fVB(J) et Vcd(f)Vab(f) et calculer Vcc(f) pour cI.
Je pense que vous comprenez pourquoi je bloque.
En vous remerciant...
Bonjour,
non, pourquoi bloques-tu? 
1)Pour toute subdivision fixée (x0,...;xn) de I, on a |f(a)-f(b)| = |(f(a)-f(x1))+(f(x1)-f(x2))+...+(f(xn-1)-f(xn))| < V(f, oméga) par inégalité triangulaire.
Comme cela est vrai pour toute subdivision et que f est à variation bornée, tu peux passer au sup du côté droit (qui existe puisque l'ensemble Vab(f) est une partie majorée de R) ce qui donne exactement la première inégalité.
Que proposes-tu pour la deuxième? 
J'ai compris la première étape, mais j'ai du mal à vous suivre pour ce qui est de la démonstration de fVB(J) et de la deuxième inégalité.
excusez moi je voulais dire pour la deuxième partie de la 1ere inégalité, c'est à dire lorque l'on passe à Vab(f).
Car ce que je ne comprend pas, c'est que l'on fase intervenir le fait que f soit à variation bornée. Cela ne suffit pas pour passer à Vab(f) de dire que ce que l'on a démontré est vrai pour toute subdivision de f?
Il suffit d'écrire à quoi ressemble une somme de variations de f pour une subdivision w' de J:
c'est une somme d'écarts entre deux valeurs consécutives de f(xk), avec le premier xk qui vaut c et le dernier qui vaut d.
Or cette somme est un morceau du calcul qui donnerait une somme de variations de f sur l'intervalle plus grand [a;b].
Pour quelle subdivision? Eh bien la même, avec deux morceaux en plus: celui qui manque au début (de a jusqu'à c) et celui qui manque à la fin (de d jusqu'à b).
Donc pour toute somme de variations de f sur J, on peut majorer V(f,J,w') par un certain V(f,I,w) où w est la subdivision de I obtenue en complétant celle choisie sur J (que j'ai appelée w).
Comme f est à variation bornée sur I, chaque V(f,I,w) se majore lui-même par Vab(f), d'où il ressort que l'ensemble des V(f,J,w') est majoré (où w' décrit l'ensemble des subdivisions possibles de J).
Par définition même, cela prouve que f est à variation bornée sur J.
De plus, toujours par définition, on a en passant au sup sur w' de chaque côté de cette inégalité:
Vcd(f) = sup(w' décrivant les subdivisions de J) {V(f,J,w')}, qui est inférieur ou égal à Vab(f).
Aïe posts croisés, j'ai démontré la seconde inégalité.
Pour répondre à ta question (t peux me tutoyer! ), ce que tu proposes ne suffit pas, car rien ne dit que V[sub]a[/subb(f) est égal à l'un des V(f,oméga).
V[sub]a[/subb(f) est un sup sur l'ensemble des subdivisions w possibles, pas forcément un max.
Donc tu appliques simplement le fait que si pour tout t d'en ensemble Z, un nombre x est inférieur à f(t) avec {f(t), t dans Z} partie bornée de R, alors x est encore inférieur à sup {f(t), t dans Z} .
Mais pourtant il y a bien écrit : Vab(f)={V(f,ω )} et cela ne fait pas intervenir le fait que f soit à variation bornée, non? (Désolé si je te parais un peu long à la détente)
En fait tu as deux fois la même notation pour deux choses différente, je ne sais pas si tu as remarqué:
Vab(f) désigne à la fois l'ensemble des sommes associées à une subdivision donnée de l'intervalle, et la borne supérieure de cet ensemble lorsqu'il est borné!
J'ai décidé, d'un commun accord avec moi-même, qu'il était plus raisonnable de réserver l'appellation V[sub]a[/subb(f) à cette borne supérieure! 
Je crois que je vient de comprendre, c'était un problème de notation, en fait tout les Vab sont des V-ronde, et seul le Sup en question est noté V majuscule c'est à dire Vab
V ronde? No comprendo!
En tout cas pour moi c'est le Sup.
Ah pardon, à bien me relire j'ai employé une fois cette même notation dans le premier sens, mais c'était dans ma toute première réponse.
Et est-ce que le fait de passer au Sup ne pose pas de problème, car on change la droite de l'inégalité (en passant au Sup), mais à gauche rien ne change.
Je pense avoir un peu près compris ton post de 17h51, mais on pourrait pas trouver une façon un peu moins abstraite, donc plus calculatoire pour arriver au résultat?
Lol! Cet exercice introduit des notions abstraites, il n'y a pas de méthode plus simple que ce que je t'ai proposé! 
Donc est-il bon d'écrire :
Comme [c,d]
[a,b], alors il est immédiat que la somme des écarts entre deux valeurs consécutives de tous les f(xk), où chaque xk[c,d] est inférieurs à la somme des écarts entre deux valeurs consécutives de tous les f(xk), où chaque xk[a,b], car la deuxième somme est égale à la première, plus celle comprenant la subdivision de a à c et celle de d à b.
C'est bien rigoureux?
Non, ce n'est pas rigoureux, car il y a d'autres sommes possibles, en affinant la subdivision entre a et c par exemple.
Je te répète qu'on ne peut pas faire l'économie de la démonstration que je t'ai donnée:
je n'ai pas tout écrit mathématiquement pour que tu comprennes mieux, mais tous les arguments y sont.
Et pour Vcc(f)? Intuitivement j'ai envie de dire que c'est égal à 0, mais je trouve juste que c'est supérieur ou égal à 0, donc problème.
Eh bien pour toute subdivision w du segment [c;c] on a V(f,[c;c],w) = 0, donc l'ensemble de ces nombres est borné, donc f est à variation bornée sur [c;c] et le Sup vaut encore 0 (le sup d'un singleton est son unique élément).
Mais à vrai dire, ce nombre est mal défini car dans ta définition il faut choisir x0 < x1 < x2<...< xn avant de calculer les |f(xk) - f(xk-1| , or on n'a pas c < c...
La vraie définition d'une fonction à variation bornée comporte d'ailleurs des "inférieurs ou égal", et là ce que je t'ai écrit marche.
Merci, maintenant j'ai bien compris l'ensemble de la question.
Par contre, on me demande ensuite de montrer que toute fonction monotone est à variations bornées.
J'ai essayer de passer par la définition de la monotonie et de celle des fonctions à variations bornées, mais j'aboutis pas.
Je t'en prie.
Il suffit d'observer que si f est croissante, alors pour tout k on a puisque
.
Tu peux donc enlever les valeurs absolues dans ce cas, et tout le monde ou presque meurt, dans ta somme!
Raisonnement analogue pour décroissante.
ah d'accord, j'obtient V(f,ω )=b-a, c'est à dire Vab=b-a, avec b-a finie car [a,b] segment, donc Vab majoré par b-a.
C'est bon?
Ah non, c'est les images qu'il faut prendre!
On trouve donc f(b) - f(a), et ce pour toute subdivision.Donc le sup est encore égal à ceci.
Ensuite on me demande de démontrer que tout élément de VB(I) est bornée sur I.
Je fais : Soit fVB(I)
donc Vab majoré
donc V(f,ω ) majoré (par M)
donc k=1n|f(xk)-f(xk-1)|M
donc -Mk=1nf(xk)-f(xk-1)M
donc -Mf(xn)-f(x0)M
Mais après je vois pas trop comment faire pour le prouver pour tout élément de I.
C'est complètement faux, tu ne peux pas te débarrasser d'une somme de valeurs absolues comme ça!
Ce que tu as écrit serait vrai avec une seule valeur absolue!
C'est beaucoup plus simple que cela en fait:
il existe M qui majore toute somme d'écarts de valeurs de f sur [a;b], et il faut prouver que f est bornée; donc que pour tout x fixé dans [a;b] on peut majorer |f(x)|.
On a donc intérêt à considérer la subdivision la plus simple possible de [a;b] contenant x, à savoir w={a;x;b}.
Que vaut V(f,w) et que peux-tu en dire?
On a V(f,w)=|f(b)-f(x)|+|f(x)-f(a)|
Après je vois pas trop quoi en dire.
Et d'ailleurs, pourquoi le fait de considérer cette subdivision en particulier constitue une démonstration, ne faut-il pas considérer toute les subdivisions de I possibles?
Pourquoi veux-tu considérer toutes les subdivisions possibles alors que tu veux majorer |f(x)|?
Il est beaucoup plus simple de considérer une subdivision particulière et de te servir du fait que la somme associée sera majorée par M, non?
Ensuite, majorons, justement!
, donc?
En fait c'est toujours pareil, étape par étape c'est très simple, mais ce qui est compliqué je trouve, c'est de penser à passer par tel ou tel chemin plutôt qu'un autre, non?
En fait j'ai l'impression que tu n'es pas encore assez pragmatique:
tu devrais essayer d'être plus intuitif dans un premier temps, prendre le temps de bien comprendre les notations et les objets introduits.
Dans un deuxième temps, et c'est très important, demande-toi ce qu'il faut démontrer.
C'est bête à dire, mais ici par exemple, on te demandait de majorer |f(x)|, donc le rapport avec ce qu'on sait, c'est que x pourrait être considéré comme un point particulier de la subdivision...puis en choisir une qui le contienne, et la plus simple possible!
Troisième temps: la débrouille! Ca commence forcément par |f(x)|, puis il faut faire apparaître le reste, et faire intervenir l'hypothèse de majoration par M .
Merci beaucoup ça devrait pas mal m'aider ces quelques conseils.
Je vais essayer de mettre en pratique pour la question qui suit.
Je vous dit la question, ya un point point qui me bloque un peu :
Justifier que, pour (f,g)VB(I)² et λ, (f+g,λ.f,f*g)VB(I)^3, avec :
Vab(f+g)Vab(f)+Vab(g)
Vab(λ.f)=|λ|*Vab(f)
Vab(f*g)Sup|f|*Vab(g)+Sup|g|*Vab(f).
Je crois avoir réussi à démontrer que f+gVB(I), car j'arrive à :
|f+g|(m+m'+|f(a)|+|f(b)|+|g(a)|+|g(b)|)/2
Peux tu me dire si tu trouves pareil s'il te plait.
Attention, tu ne dois pas majorer |f+g| ici, mais la somme d'écarts de f+g par une somme d'écarts de f et d'une somme d'écarts de g.
Il faut donc reprendre une subdivision quelconque w de l'intervalle I.
En fait non ça marche pas ce que j'ai tenté : j'ai voulu me resservir de la même subdivision w mais j'arrive pas au résultat...
Maintenant je prend une subdivision w quelconque.
Mon seul problème est que je ne sait pas si il est vrai et si je peux écrire directement que V(f+g,w)=V(f,w)+V(g,w). Si oui, alors c'est bon puisque que l'on a la majoration, sinon, je ne vois vraiment pas.
Pour une même subdivision w pour f et g, tu vas arriver à somme des écarts de f+g inférieur ou égal à somme des écarts de f + somme des écarts de g, et tu majores chaque terme du membre de droite par les sup correspondants.
La conclusion est alors immédiate.
Non, ton égalité est fausse.Fais comme je viens de te l'indiquer, en utilisant l'inégalité triangulaire.
J'espère que ce que j'écris ne va pas encore être faux :
On a : k=1n|(f+g)(xk)-(f+g)(xk-1)|=k=1n|(f(xk)-f(xk-1))+(g(xk)-g(xk-1))|k=1n|(f(xk)-f(xk-1)|+k=1n|(g(xk)-g(xk-1)|m+m'
Là je pense que c'est bon.
Impeccable! Mais il faut encore remplacer m + m' par les Vab de f et de g pour conclure précisément.
Mais si j'ai dis que m et m' sont les majorants de V(f,w) et de V(g,w), ça ne suffit pas pour conclure précisément?
Pas vraiment, tout majorant est supérieur à la borne supérieure.
Or on a besoin de faire apparaître les bornes supérieures à droite, donc il vaut mieux directement majorer chacune de tes deux sommes par le sup correspondant, et le résultat tombe instantanément.
Ah ok, en fait tu répond aux 2 question en même temps, c'est ça? (parce que moi j'étais juste sur les appartenance à VB(I)
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