Bonjour,
Un sujet de CAPES externe 2006 (Epreuve sur dossier)
Citation :On se donne une partie A de \N^*, finie et non vide.
On suppose que pour tous éléments
et
de
,
1) Montrer que
2) Montrer que A ne contient que des entiers pairs
3) Montrer que
Pour le 1 c'est simple
Pour le 2,
On note
Soit
Ainsi si
est impaire tel que
, on a
, contradiction car
est une partie finie.
Donc les éléments de
sont pairs.
3) Soit
un entier pair différent de
, on a
, et
en réitérant avec 2 je trouve
mais là je ne vois pas trop comment l'expliquer correctement.
Si je définie la suite
, pour certaines valeurs de
(
),
converge vers 2 et est à valeurs dans
et donc en définissant la suite
et
, on montre que A est infini, dans l'autre cas où
est pair mais n'est pas élément de la suite
, la suite
converge vers 2 mais n'est plus à valeurs dans