Bonjour ! Ce chapitre n'est pas mon point fort donc j'espère que si vous avez le temps, vous pourrez m'indiquer où sont mes erreurs dans mon raisonnement... Merci d'avance !
Le sujet:
1. Sachant que:
cos(a + b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), montrer que: cos(2x)=cos^(2)(x)-sin^(2)(x) et en déduire que: cos^(2)(x)=(1+cos(2x))/(2)
2. À l'aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de cos^2(π/8).
3. En déduire la valeur exacte de cos(π/8) puis de sin(π/8).
Mes trouvailles :
1.
cos(a + b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
En remplaçant a et b par x, on obtient :
cos(2x)=cos(x+x)
=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)
=cos^2(x)-sin^2(x)
Ensuite, pour déduire que cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2, nous pouvons simplement isoler cos^(2)(x) dans l'identité précédente :
cos^(2)(x) = cos(2x) + sin^(2)(x) = cos(2x) + (1 - cos^(2)(x)) (en utilisant l'identité sin^(2)(x) = 1 - cos^(2)(x))
Ensuite, en résolvant pour cos^(2)(x), nous avons :
cos^(2)(x) = (cos(2x) + 1 - cos^(2)(x))/2
En multipliant par 2 des deux côtés et en réarrangeant les termes, nous avons :
2cos^(2)(x) = cos(2x) + 1
Enfin, en divisant des deux côtés par 2, nous avons :
cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2
Cela prouve que cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2, en utilisant l'identité trigonométrique cos(2x) = cos^(2)(x) - sin^(2)(x).
2.
En utilisant l'identité trigonométrique cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2 et en posant x = π/8, nous avons :
cos^(2)(π/8) = (1 + cos(2π/8))/2
En simplifiant, nous avons :
cos^(2)(π/8) = (1 + cos(π/4))/2
Nous savons que cos(π/4) = √2/2, donc :
cos^(2)(π/8) = (1 + √2/2)/2
En rationalisant le dénominateur, nous avons :
cos^(2)(π/8) = (2 + √2)/4
Ainsi, la valeur exacte de cos^(2)(π/8) est (2 + √2)/4.
3.
Pour déduire la valeur exacte de cos(π/8) à partir de cos^(2)(π/8) = (2 + √2)/4, nous pouvons prendre la racine carrée des deux côtés :
cos(π/8) = ±√[(2 + √2)/4]
Cependant, puisque 0 ≤ cos(π/8) ≤ 1, nous devons choisir la solution positive :
cos(π/8) = √[(2 + √2)/4] = √2/2 * √[(1 + 1/√2)/2]
Nous savons que √2/2 = cos(π/4) et que cos(π/4) = sin(π/4), donc :
cos(π/8) = sin(π/4) * √[(1 + 1/√2)/2]
En utilisant l'identité trigonométrique sin(π/4) = √2/2, nous avons :
cos(π/8) = (√2/2) * √[(1 + 1/√2)/2] = (√2 + 1)/2√2
Maintenant, pour trouver la valeur exacte de sin(π/8), nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique suivante :
sin(π/8) = ±√[1 - cos^(2)(π/8)]
Nous devons choisir la solution positive puisque 0 ≤ sin(π/8) ≤ 1. Ainsi, nous avons :
sin(π/8) = √[1 - cos^(2)(π/8)] = √[1 - (2 + √2)/4] = √[(2 - √2)/4]
Finalement, nous avons :
cos(π/8) = (√2 + 1)/2√2 et sin(π/8) = √[(2 - √2)/4].
J'espère que c'est assez clair... et merci d'avance!
Bonjour
Je n'ai pas l'impression que ce soit de l'eau de source.
En prenant
sachant que on obtient
d'où
Appliquons cela à
Or
Comme
Par conséquent, son cosinus est positif d'où
Pour le sinus, on va utiliser
Tout n'est pas écrit, car le calcul mental existe
*Sylvieg edit>la première formule a été rectifiée*
Bonjour,
Un problème d'espace manquant après cos et sin pour le LaTeX dans
Je rectifie ?
*Sylvieg edit>j'ai rectifié *
Merci pour votre aide ! Donc j'ai surtout un problème de rédaction c'est ça ?
Et je me suis aussi trompé sur cos(π/8)...
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