Pour faire un peu le bilan :
l'application

définie de R² dans SR³ c'est à dire S

vérifie les 3 points
pour (i) et (iii), l'auteur du topic l'a expliqué dans ses messages précédents

et pour (ii), l'injectivité est évidente et pour la surjectivité, si on prend M(x;y;z) de S, l'équation de S mène directement à z=... et donc M=f(x,y)

j'ai bon ?

oui Rodrigo, cela revient au même

en fait je pense que ses notations X|s et Y|s représentent la projection su point sur le plan de bas (xOy)

Par contre (x,y,z) de S (y,z)
n'en n'est pas un puisque les points (1,-1,0) (0,-1,0) et (-1,-1,0) se "projettent" au même point (-1,0)

x|S et y|S représentent tout simplement la restriction des formes coordonnées x et y à S... Pour ton deuxième exemple on demande si c'est vrai localement, on peut trouver un voisinage ne contentant aucun de ses points (apres j'ai pas regardé si ca fonctionnait ou pas mais ce qui est sur c'est que ton contre exemple n'est pas valable.)

relativement à la définition (certe pas claire) donnée par le premier message, on aura du mal a trouver un voisinage U du point (-1,0) de R²... considérés comme (y,z)... qui est envoyé via un homéomorphisme différentiable sur un voisinage d'un point de S, restreint à S... ou alors je demande qu'on me l'exhibe explicitement !

Rodrigo, on a pas encore abordé les sous-variétés et cartes. Le prof fait exprès pour nous mettre sur la voie surement. Toi qui a le recul, tu vois tout ça! Mais moi, pas encore!

Sinon, quand tu parle de restriction de forme canonique, c'est quoi précisément comme fonction ?

Est-ce que le couple de fonction x|S et y|S ça représente la fonction de MatheuxMatou à 22:35 : ?

En clair,

étant donné un point P de S... je prends P(1,-1,0)...

il faut trouver un voisinage V de P dans R³
et un voisinage U de (-1,0) dans R²
et une application de U dans VS
qui à (y;z) associe (y,z)=(...,y,z)
qui vérifie les points (i) (ii) et (iii)

oui Haldonoer, dans mon message de 22:35, je parle bien de celle-ci... et elle convient comme système de coordonnées locales en (x,y)

et tu poursuis la question dans ton message de 19:08 par le fait de savoir si y|s et Z|s forment un système de coordonnées locales ... et là je pense que non en vertu de mes remarques de 22:42 et 22:59

mais je ne suis pas sûr de moi... c'est un peu loin tout ça !

Mais par contre, pour f, le i) et le iii) Ok. Quand au ii), je n'arrive pas à expliciter !

Oui oui je parlais moi aussi de (x,y), décidément je devrais manger un peu, je n'ai plus d'énergie!

En fait j'ai finalement l'impression que c'est aussi possible pour (y,z) au voisinage de 0, une petite étude de la fonction (à y et z fixés) montre que:


* si et si alors f décroît d'un positif à un négatif sur

Il est donc possible de "trouver x" proche de 0 pour z assez proche de 0 dès que y est assez proche de 0-.

*si alors la fonction est strictement croissante sur et prend la valeur en , donc....hum finalement je ne suis sûr de rien!


Alain, pour citer tu copies-colles à l'intérieur des balises qui s'ouvriront après avoir appuyé sur le symbole de guillemets qui apparaît juste sous le cadre où tu écris.

Je continue à réfléchir.

c'est tout simplement la projection dont parlait Rodrigo... au point (x,y,z) de S, tu associes (x,y)

En fait dans le cas y > 0 et z > 0 il existe un voisinage de 0 tel que si x est dans ce voisinage, la fonction en x ne s'annule pas, donc dans ce cas, je pense qu'il n'existe pas de coordonnées locales (y,z) au voisinage de 0.

Il suffit de montrer par l'absurde que x ne peut s'exprimer en (0,0,0) comme fonction implicite de z et y.

Ouh là le topic a bien avancé tout-à-coup! JE vais lire tout cela posément.

je vais essayer de grapher cette nappe pour voir à quoi elle ressemble... ça donnera peut-être une idée !

bon à mon avis ce n'est pas en (0,0,0) le problème de paramétrage en (y,z), mais plutôt chez lzq y négatifs au niveau d'une crête ou d'un fond de vallée

par exemple au point (1,-3,2) de S

A MatheuxMatou :
pour les citations, il faut cliquer sur l'icône guillemets juste après la flèche en bas.

Et moi aussi faut que je relise tout ceci à tête reposée parce que la!

A demain!

Ca se démontre tres bien par l'absurde en (0,0,0)....

Rodrigo,

peux-tu me dire si ce que j'ai fait avant montre que l'application (y,z) -> (x,y,z) n'est pas un système de coordonnées locales en (0,0,0), s'il-te-plaît?

heu moi je veux bien....ce que tu as fait ou?

Merci!

A 23h09 et 23h12.

une coupe de la nappe par le plan y=-3 donne une cubique z=f(x) qui admet un maximum en x=1 et f(1)=2.

cela permet de voir que dans tout voisinage sur S du point (1,-3,2), des points différents (comme par exemple les points (1,-3,-2+3²-³) ont le même antécédent dans un voisinage de (-3,2) de R² (cet antécédent vaut (-3,-2+3²-³)) et donc on ne peut pas trouver localement un homéomorphisme diffrénetiable qui fait de (y,z) un système local de coordonnées

désolé, mais en (0,0,0), (y,z) a bien l'air d'être un système de coordonnées locales...

Je dois avouer que je vois pas trop le rapport...tu distingue des cas...ici on est (suaf erreur de ma part) au voisinage de (0,0,0)

Euh..Je parlais du point (0;0;0), moi!

Bon supposons l'existence d'un f, lisse et d'un voisinage de 0 dans S tel que x=f(z,y) sur ce voisinage on a alors f(z,y)^3+yf(y,z)+z=0
En différenciant on trouve que dz=0...

sauf erreur de ma part, avec ma remarque de 23:41, vous ne trouverez pas un système de coordonnées locales en (y,z) au voisinage du point (1,-3,2) de S

Oui je distingue des cas car la résolution de l'équation f(x) = 0 dépend du signe de y notamment.

J'ai montré que quels que soient y > 0 et z > 0, il existe un voisinage de 0 dans R tel que dès que x est dans ce voisinage, x^3 + xy + z ne s'annule pas, autrement dit tel que x ne puisse pas s'exprimer en fonction de y et z.

Ca ne prouve pas que (y,z) n'est pas un système de coordonnées locales de S au voisinage de (0,0,0) ?

l'idée vient de l'observation de la nappe représentée à 23:29

alain

Ah non, ce que j'ai montré veut sans doute seulement dire que la surface ne passe pas par des points de deuxième et troisième coordonnées positives pour |x| suffisamment petit...

désolé, j'ai beaucoup de mal avec ces notions.

bon, visiblement vous ne voulez pas analyser mon argumentation...

je vais aller dormir alors !

alain

Oui tu as entièrement raison, je m'en suis aperçu un peu tard!
Désolé, c'est un de mes tout premiers pas en géo diff!

Pardon Alain,

je ne te répondais pas car j'étais perdu dans mes propres doutes...Mais je n'en suis pas capable de toute façon.
Bonne nuit si tu nous quittes!

Alain-> Ce n'est pas que je ne veux pas analyser ton argumentation, c'est juste que tu reponds pas a la question on demande si on a un systeme de coord local en (0,0,0) par (y,z) et tu nous dit que (y,z) ne marche pas en (1,-3,2), moi je veux bien...mais c'est pas la question.

->Tigweg, ne sois pas désolé! La géo diff c'est pas evident! Et on apprend plus de ses erreurs que de ses bonnes reponses!!

l'idée est simple au départ : un système de coordonnées en (y,z), c'est intuitivement le fait qu'on peut projeter la nappe sur le plan (yOz) sans qu'un pli et des superpositions apparaissent (cela pour les nappes "gentilles"

On "voit" sur le tracé qu'une projection en (x,y) ne pose aucun problème

mais que si on projette une ligne de crête sur (yoz), là un problème apparaît

(je me répète... voir une figure à 23:29)

pardon, mais nul part dans l'énoncé on nous a demandé de faire ça en (0,0,0)... ou alors j'ai loupé quelque chose

Oui, merci!
IL faut vraiment s'arrêter un moment, oublier (presque) tout ce qu'on sait, et réfléchir à tout ça!

ah oui m...

je viens de reprendre les nombreux messages précédents (on s'y perd !)...

désolé... tu as raison Rodrigo...

j'étais à côté de la plaque

pour résumer, mon argument est bon... mais hors sujet !!!!!!

je me repenche sur le cas (0,0,0)

Comme quoi il ne faut jamais perdre de vue l'énoncé .

Bonne nuit à vous 2

_{Moi je retourne a la cohomologie étale...}

intuitivement, j'ai quand même l'impression que le plissement qui se termine en O du côté des y négatifs va poser un problème... mais j'arrive pas à le mettre en forme !

Ca fait 30 ans que j'ai plus fait de géo diff... à l'époque je pense que tout cela m'aurait sauté aux yeux !!!!

Bonne nuit Rodrigo, et merci de tes éclaircissements.!

bonne nuit à vous deux

cela a été un plaisir

alain

Bonne nuit Alain!