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La tempête est passée! 
Les gars, essayé de vous mettre à mon niveau, j'ai juste commencé la géo diff, jamais entendu parler de variété, plissement ou autres!
Alors pour moi :
est un système de coordonnées locale de
au voisinage de p
il existe
un ouvert de
et
un voisinage de p dans
tel que
vérifie (i),(ii) et (iii) de mon post initial.
Alors déjà, " le couple de fonctions et
est un système de coordonnées locales ", faut-il comprendre la fonction
?
bon, j'arriverai pas à dormir !
reprenons en (0,0,0)
Tout voisinage de O sur S contient les points () et (
) pourvu qu'on choisisse
assez petit.
Et on peut aussi le choisir assez petit pour que (-,0) soit dans un voisinage donné de (0,0) de R².
donc si on considère une application 
qui à (y,z) d'un voisinage U de (0,0) associe (f(y,z),y,z) dans un voisinage de O sur S, on va avoir un sérieux problème de définition surjective vu que l'élément de U (-,0) devrait avoir deux images par .
A votre avis ?
Alain
Oui H... on s'y perdait un peu dans le tumulte.
Pour le système (x,y) pas de problème... tu as tous les éléments de la démo dans le fouillis !
bon, tu prends
c'est défini sur R²
ça arrive bien dans S... tu es d'accord ?
c'est une fonction continue ... toujours d'accord ?
c'est injectif puisque f(x,y)=f(x',y') fournit immédiatement x=x' et y=y' en égalant les coordonnées des images... toujours d'accord ?
par ailleurs c'est surjectif de R² sur S puisque si tu prends M(x,y,z) dans S, par définition x^3+yx+z=0 et donc z= ... et donc M=f(x,y)
toujours ok ?
finalement c'est donc bien une bijection continue de R² sur S...
(donc inversible et sa réciproque est continue)
On se moque un peu de sa réciproque, mais si tu y tiens, c'est tout simplement la restriction à S de la projection sur le plan de coordonnées (x,y) : M(x,y,z)
S
(x,y)R²
Alors je suis ok jusqu'à l'inversibilité! Mais quel argument utilise-t-on pour dire que est continue ?
ici f^-1 est simple.
la projection de R^3 dans R² qui consiste à prendre les deux première coordonnées est bien continue non ?
la projection de R^3 dans R² qui consiste à prendre les deux première coordonnées est bien continue non ?
toutafé!
Tu veux dire que :
on sais que l'application est continue, et donc
l'est aussi. Mais
, donc c'est OK ?
Ok!
Ben, pour ton exemple du fait que ce n'est pas un syst. de coordonnées locales, avant de le lire, comment on fait intuitivement ?
regarde la nappe S tracée à 23:29 sur le dessin
quand tu projettes sur le plan (yOz) tu as plusieurs points qui se superposent (chez les y négatifs) et donc on ne peut pas "remonter" la projection sur un point unique de S à partir d'un point (y,z) de la projection
imagine que tu photographies la nappe "vue du dessus"? Tu es sur l'axe Oz, tu centres ta vue sur le point O et Clic... ta photo... plane...correspond au plan (xOy) et sur ta photo, tu vois des points de S qui sont dans un voisinage de O, et qui plus est tu les vois tous, c'est à dire qu'il n'y a pas de points qui sont cachés par d'autre. Donc tu peux repérer chaque point de S par une coordonnée (x,y) du plan de ta photo.
par contre si tu fais la même chose en te plaçant sur l'axe (Ox) (du côté des positifs par exemple), même si tu zoomes très fort sur le point O (donc tu prends un voisinage de O sur S) tu t'aperçois que tous les points de S ne sont pas visibles sur ta photo car la surface fait "un pli"... c'est comme lorsque tu prends un versant de montagne en photo... tu ne vois pas sur la photo le versant qui se trouve de l'autre côté. Et le plan de ta photo représente cette fois le plan de coordonnées (y,z). Tu n'as donc pas une bijection entre les points de ta photo et les points de S qui se trouve dans la zone photographiée puisque certains sont cachés par d'autres.
c'est ce que je traduis dans le message de 00:32
alain
en clair, (y,z) ne fournit pas un système de coordonnées locales de S au voisinage de 0.
Allez, bonne nuit
Alain
J'essaie pour l'autre :
bon déjà j'ai un problème pour la définition du "couple de fonction ,
" : puis-je l'écrire ainsi
?
Le "" apparaît toujours!
Est-ce différentiable (donc est-ce que cela vérifie (i) ) ?
Et bien si je note , il semble que pour
il y ait un léger problème! En effet, pour
alors ce n'est pas différentiable, donc cela ne vérifie jamais (i).
Maintenant, est-ce que ce cas peut se produire ?
Bonjour!
Alain->Non, je n'ai pas regardé à nouveau, il faudrait que je m'y penche sérieusement pour mettre un peu d'ordre dans mes idées 
Par contre Rodrigo, j'ai pas compris cette intervention :
Il suffit de montrer par l'absurde que x ne peut s'exprimer en (0,0,0) comme fonction implicite de z et y.
Pour faire ça suffit à montrer que ce couple de fonction n'est pas un système de coordonnées locales.
Si ta projection y,z etait une telle application alors par le theo des fonctions implicites il existerait f tel que x=f(y,z) au voisiange de (0,0,0) cmme une telle application en peut exister.
Euh alors attend pour le vocabulaire, "couple de fonction ,
" ça signifie projection sur
,
?
C'est donc la fonction ?
Voila mon théorème des fonctions implicites :
Si, pour une valeur le point
est un zéro simple du système :
...
i.e. et
est inversible, alors il existe un voisinage
de
dans
et un
voisinage de
dans
tels que le systèm eci-dessus admet une unique solution
.
De plus cette solution est une fonction de classe de
dans
.
Comment je montre que si une fonction vérifie (i),(ii) et (iii) alors elle vérifie ce théorème ?
Si (y|s,z|S) est un syst de coords locales en (0,0,0) alors verifie que f(x,y,z) (ou f est ta fonction d depart x^3+...) vérifie bien les hypothese du théorème, et que donc x doit pouvoir s'exprimer comme fonction implicite de y et z sur un tit voisinage, mais on a vu que c'était pas possible.
c'est quoi f ?
édit Océane : suite ici --->>> 
Systeme de coords locales (suite)
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