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Systèmes de coordonées locales
Bonjour.
Voici quelque chose qui me pose problème :
Soit .
On me demande si le couple de fonctions et
est un système de coordonnées locales de
au voisinage de 0.
Voici ce qui figure dans mon cours :
Un sous-ensemble de
est une surface régulière si,
, il existe un voisinage
de
dans
et une application
telle que :
i) différentiable
ii) homéomorphisme
iii) est injective
L'application est appelée système de coordonnées locales de
au voisinage de
.
Je ne vois pas comment utiliser cette définition.
Hello!
Ne s'agirait-il pas du théorème des fonctions implicites?
Cette notation désigne peut-être l'application donnant x comme fonction de y et z sur S?
Simple idée, je n'y connais strictement rien en géo diff! 
faut reconnaître que ton "grand x" représente deux choses différentes : une abscisse et une application de R² dans S ... ?
Dans la condition iii) :
Pour un point ,
.
Dire que est injective, c'est dire que la matrice jacobienne est celle d'une application injective :
- soit deux vecteurs colonnes sont indépendants
- soit il existe un sous-déterminant 2x2 de cette matrice non nul
ah d'accord, tu parles de la différentielle, application linéaire de R2 dans R3... on la note plutôt dF en général (pour une application F de R2 dans R3)
Oui, pour être injective, tu as tout à fait raison.
(petite curiosité : tu es en Licence de quoi ?)
oui, c'est ce que dirait... mais je ne suis pas sûr de bien comprendre ton énoncé où les notations ne sont pas claires
Vous ne pensez pas que c'est plutôt l'application qui à (y,z) associe (x,y,z) ?
Mais ce qui est bizarre, c'est que selon les valeurs de y et de z, il y a parfois plusieurs x possibles.
Ok!
Alors le i) est clair.
Le ii), je n'arrive pas à expliciter .
Le iii), je trouve . Il y a donc un sous-déterminant qui vaut
et donc c'est OK.
(PS: je suis en licence de maths!)
ben oui, c'est la réflexion que je me suis faite... très bizarres ces notations !
cela me paraît plus simple en "extrayant" z... mais est-ce que les trois conditions sont vérifiées partout ???? à voir...
On peut aussi extraire y.. mais là il y a une singularité quand x est proche de 0
alain
Pour le ii), l'application est un homéomorphisme, c'est dire que l'application inverse
existe et est continue , non ?
En fait, on me demande si le couple de fonctions et
est un système de coordonnées locales de
au voisinage de 0 et après si le couple de fonctions
et
est un système de coordonnées locales de
toujours au voisinage de 0.
Je pense que dans un cas ça doit être oui, et dans l'autre, non!
Maintenant, ce que représente
Peut-être que c'est la fonction ou "l'on extrait" x mais, dans ce cas je ne vois pas comment l'exprimer!
Ah ok, tu veux dire que la notation (x|S,y|S) désigne une seule application, celle qui à (x,y) associe (x,y,z)?
Oui c'est possible puisque dans ce cas la réponse à la première question est oui, et la réponse à la deuxième est non.
Ca doit être ça.
Ah ben voila Tig!
Par contre, comment le montrer que c'est oui pour la première ?
On prend quoi pour et pour
de la définition ?
Tu associes à le triplet
C'est bien une application différentiable de vers
et de dérivée injective.
Maintenant il me semble qu'il y a un problème, car les images ne rempliront jamais tout un ouvert centré en 0 puisque les images restent cloisonnées à .
Donc cette application ne peut pas réaliser de bijection entre un sous-ensemble de l'espace et un ensemble du type .
Il faudrait demander l'avis de quelqu'un qui s'y connaît un peu en géo diff.
Donc en fait, il faut trouver un ouvert de
et un voisinage
de 0 dans
telle que l'application
vérifie i),ii) et iii) ?
Cette application est clairement différentiable quelque soit car chacune de applications composantes le sont, donc pas de souci pour i).
Sommes-nous d'accord ?
Donc ça ne peut pas être le cas puisque par exemple, la suite de points (1/n ; 0 ; 0) tend vers 0 , donc appartient à tout voisinage V de 0, mais n'appartient jamais à S.
Oui oui et (3) est vérifiée aussi, par contre mon message précédent montre que l'image de tout U ne remplira jamais aucun ensemble de la forme V inter S avec V voisinage de 0.
Euh, iii) est aussi ok car la matrice jacobienne est et qu'il existe donc un déterminant 2x2 qui vaut 1, ai-je bien compris ?
Je sais que c'est pas très recommandé, mais comme on peut plus poster sur mon topic, je voulais juste remercier Tigweg d'avoir été aussi patient pour m'aider aussi longtemps. Bonsoir et merci encore.
Je t'en prie Maxoudu94, bonne soirée à toi! 
H > Voilà, en tout cas si on choisite pour U un ouvert de R².
non... j'ai vraiment du mal avec les notations de l'énoncé... il n'est pas clair pour moi (je pense incomplet) et quelque chose m'échappe...
Oui, ça m'énerve cette histoire de voisinages, il est impossible de bâtir un homéomorphisme dans ces conditions!
je pense que l'application citée (x,y) 
... en est un... puisque par définition de S ses points sont de ce type et que cette application est définie sur R²... je prendrais tout simplement U=R² et V=R^3 pour celui là... c'est plus qu'un système de coordonnées loacles puisque TOUT point de S ets paramètrable uniquement en x et y
En faite la première question c'était :
montrer que est une sous-variété de classe
de \Large
et déterminer son plan tangent en 0
Cela aide-t-il ?
Oui mais dans ce cas, c'est la définition de H_Aldnoer qui est fausse, puisque comme je l'ai montré à 20h09, cette application ne peut jamais réaliser de bijection de U dans V inter S, et ce pour tout choix de U dans R² et de V voisinage de 0 dans R^3.
En fait je m'aperçois que je me suis en effet planté!
Pour moi, il fallait qu'il y ait surjectivité d'un certain ouvert U de R² vers un voisinage V de 0 dans R^3, ce qui est impossible!
Mais en fait, on aboutit dans V inter S donc c'est tout bon!
Je retire donc ce que j'ai dit, l'application (y,z) ainsi définie vérifie les 3 conditions (i, (ii) et (iii). 
tu me rassures, je commençais à croire que j'avais vraiment perdu !
sauf que je parle de l'application en (x,y), pas en (y,z)
pour cette dernière je n'ai pas l'impression que ce soit vrai... car d'un point de S, connaissant y et z, on doit pouvoir remonter à plusieurs valeurs de x... mais j'arrive pas à mettre ça en forme
alain
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