Bonsoir

Avec le théorème de Bezout : il existe des entiers p et q tels que pm+qn=1.
x=pmb+qna convient alors.

comment avez-vous trouvé x=pmb+qna ?

Puisque m n = 1 on peut trouver u et v dans tels que um + vn = 1
Soient (a,b) ² . On cherche E(a,b) = { x | x a (mod m) et x b (mod n) }
Si x E(a,b) , m | x-a et n | x-b et si on pose s = (x-a)/m , t = (x-b)/n on a : x = a + sm = b + tn .
Si , pour x E(a,b) , on pose f(x) = ((x-a)/m , t = (x-b)/n ) on voit que f  réalise une bijection de E(a,b) sur S(a,b) =  {(s,t) ² | a + sm = b + tn }

Recherchons donc S (a,b)  
Analyse : Soient (s,t) S(a,b) . Ona : sm - tn = b - a  et aussi (b-a)um + (b-a)vn = b - a donc (s - (b-a)u)m -(t + (b-a)v)n = 0 .
n divise donc (s - (b-a)u)m et donc aussi (Gauss) s - (b-a)u . Si on pose p = (s - (b-a)u)/n on p   et s = (b-a)u + pn et t = -(b-a)v + pm .
On a donc S(a,b) T(a,b) = {((b-a)u + pn , -(b-a)v + pm) | p } qu'on peut aussi écrire (b-a)( u,-v) + .(n,m).

Synthèse: Soit p . Posons s = (b-a)u + pn  , t = -(b-a)v + pm  . On a : (a + sm) - (b + tn) = (a-b) + ((b-a)u + pn)m -(-(b-a)v + pm)n = 0.
Cela prouve que (s,t) S(a,b) donc T(a,b) S(a,b)
Conclusion :   S(a,b) =  T(a,b) et

E(a,b) = {a + (b-a)um + pmn | } . On a aussi E(a,b) = {b - (b-a)vn + pmn | }

E(a,b)  s'écrit aussi : (avn  + bum) + mn  car  a(1 - um) + = avn