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théorème des valeurs
Posté par serves21
Pouvez vous SVP m'éclairer pour cet exercice. je suis complètement larguée. Merci beaucoup.
Soit a un réel fixé. Pour z dans 
on pose
Pa(z) = 4z3+2a.z² +
2a.z+2
et on s'intéresse à l'équation du troisième degré
Pa(z) =0. (*)
1) Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires et l'utiliser pour montrer qu'il existe tjoujours une solution réelle négative à (*).
2) Soit z
une solution de (*). Justifier que z
0 et montrer que 1/2z est aussi solution.
3) montrer que si z est solution de (*) alors z barre aussi.
On suppose maintenant que a est tel qu'il existe trois solutions à (*), dont une seule est réelle et deux sont complexes réelles.
4) Montrer que les solutions de (*) sont toutes de module 1/2.
5) Donner la valeur de la solution réelle.
salut
2/ on calcule P(1/2z)
3/ a est réel donc ...
4/ P possède trois racines donc P(z) = .... ?
5/ évident d'après 4/ ...
Dans les questions 4 et 5 , P a une seule racine .On la note u . 1/2u est donc aussi racine de P et comme elle est réelle on a : u = 1/2u .
Soit v l'une des 2 autres racines . Elle n'est pas réelle et , tout comme 1/2v sont aussi racines . Tu as donc
= 1/2v.
Finalement u² = |v|² = 1/2 = |1/2v|².
Le produit des 3 racines u,v,1/2v étant 2/4 tu as aussi u = 1/2
Ah oui c'est plus clair! merci
Mais ce qui coince c'est la question 2 car il est dit que z est complexe et que 1/2z est solution. La je ne vois pas comment le montrer parce qu'en calculant P(1/2z) on arrive pas a ca
P(1/2z) = 4(1/2z)^3 + 2a(1+2z)^2 + 'racine carré'2a(1/2z) + 'racine carré'2
= 1/2z^3 + a.1/2z^2 + 'racine carré'2a(1/2z) + 'racine carré'2
= 1/2z^3 + a.z/2z^3 + 'racine carré'2a.z^2/2z^3 + 'racine carré'2.z^3/z^3