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Trigonométrie

Posté par
masterrr 07-09-08 à 20:01

Bonjour,

Je dois calculer la somme suivante :

3$S=1+\cos(\theta)+\cos(2\theta)+...+\cos(n\theta)

Or 3$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta), donc 3$S=Re(1)+Re(e^{i\theta})+Re(e^{2i\theta})+...+Re(e^{ni\theta}).

Or 3$Re(z_1)+Re(z_2)=Re(z_1+z_2), donc 3$S=Re(1+e^{i\theta}e^{2i\theta}+...+e^{ni\theta}).

Soit 3$Z=1+e^{i\theta}e^{2i\theta}+...+e^{ni\theta}, comme 3$1+q+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, on a 3$Z=\frac{1-(e^{i\theta})^{n+1}}{1-e^{i\theta}}.

Pour la suite, mon professeur m'a dit de mettre en facteur 3$e^{\frac{i\theta}{2}} mais je ne vois pas où il veut en venir...

Merci d'avance si vous pouvez m'éclairer !

Posté par
Nightmarere : Trigonométrie 07-09-08 à 20:05

salut

N'oublie pas que l'on veut la partie réelle de Z et écrit comme cela, on ne peut pas trop voir ce qu'elle vaut, par contre en utilisant l'indication de ton professeur on peut peut être faire apparaitre quelque chose de sympathique.

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:06

Bonjour

Tu es très bien parti :

\Large{Z = \frac{1-e^{i\theta (n+1)}}{1-e^{i\theta}} = \frac{e^{i\theta \frac{(n+1)}{2}}.(e^{-i\theta \frac{(n+1)}{2}}-e^{i\theta \frac{(n+1)}{2}})}{e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}})}

Tu vois comment poursuivre ?

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:07

Salut Jord

Posté par
Nightmarere : Trigonométrie 07-09-08 à 20:07

Salut Romain

Posté par
masterrrre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:29

Merci à vous deux !

Faut-il simplifier les exponentielles complexes mises en facteur au numérateur et au dénominateur ?

Je ne vois pas trop à quoi celà nous mène... Un indice ?! Merci

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:31

Citation :
Faut-il simplifier les exponentielles complexes mises en facteur au numérateur et au dénominateur ?

Oui c'est le but

Indice :

sin(x) = [exp(ix)-exp(-ix)]/(2i)

Posté par
masterrrre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:46

Merci, on a donc :

3$Re(Z)=Re(e^{n+1}\frac{\sin(\theta\frac{(n+1)}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})}).

Par contre il y a le (n+1) du sinus qui me dérange...

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:52

Presque, c'est plutôt :

Re(Z) = cos(i.nx/2).sin[x(n+1)/2]/sin(x/2)

Pourquoi le n+1 te dérange ?

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:52

Oups faute de frappe :

Re(Z) = cos(nx/2).sin[x(n+1)/2]/sin(x/2)

Posté par
masterrrre : Trigonométrie 07-09-08 à 20:58

Je n'ai pas compris d'où sort le cos (nx/2) ?

Moi j'avais simplifié les exp(ix/2) du coup il me restait exp(n+1).

Comment as-tu fait ? (sinon encore merci pour passer du temps à essayer de m'expliquer l'exercice !)

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 21:09

Il te reste l'exponentielle en facteur des deux sinus qui eux forment un réels

Donc en prenant la partie réelle, ça fait un cosinus

Et c'est du nx/2  car  au numérateur, tu as le exp(ix/2) qui se simplifie avec celui du dénominateur

OK ?

Posté par
masterrrre : Trigonométrie 07-09-08 à 21:18

Effectivement... oui !

Merci pour votre aide précieuse .

C'est très gentil, passez une bonne soirée.

Posté par
lyonnaisre : Trigonométrie 07-09-08 à 21:33

Je t'en prie

Bonne soirée


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