Bonjour!

Je trouve dans Niven le petit (?) exercice suivant: Pour k>3, trouver tous les ensembles de nombres positifs a1,a2, ... ak qui ont la propriété suivante: si je prends un triplet quelconque dans cet ensemble, la somme des nombres du triplet est divisible par chaque élément du triplet.

Comme je ne vois guère, je vais d'abord m'intéresser au cas k=3. L'énoncé est équivalent, je pense, à: trouver a1,a2,et a3 tels qu'existent p,q,r avec:
a2+a3=p a1
a3+a1=q a2
a1+a3=r a3

Soit A=[[-p,1,1],[1,-q,1],[1,1,-r]] et la solution en a1,a2 et a3 existe que si A est singulière, c'est-à-dire si
pqr=p+q+r+2.
Il y a la solution évidente (p,q,r)=(-1,-1,-1), qui correspond à a1+a2+a3=0 qui ne convient pas puisque les ai sont >0
Autre solution évidente (p,q,r)=(2,2,2) qui correspond à (a1,a2,a3)=(K,K,K)
Autre solution évidente également (p,q,r)=(1,2,5)qui correspond à K(1,2,3) ou perm. circulaire.

Mais au-delà ?

J'ai essayé de fixer r. Je pose ensuite P=pq et S=p+q et j'obtiens:

S=Pr-(r+2).  p et q sont alors solutions de l'équation du deuxième degré:
X^2-(Pr-(r+2)) X +P=0

Comme je veux des racines entières, j'ai une condition (non suffisante)  : Je cherche P et r tels que
[Pr-(r+2)]^2-4P est un carré parfait.

Je ne suis pas sûr que le schmiblik ait beaucoup avancé, mais ...

Quelqu'un a-t-il une idée? et pour k>3 ???