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Niveau Maths sup
Un peu d'arythmétique
Posté par daddo59
Bonjour à tous !!
Alors voilà j'ai un petit soucis avec la résolution d'un exercice en arythmétique. Voici l'énoncé:
Résoudre dans 
3, l'équation 12x+15y+20z=7
Voilà ce que j'ai fait jusqu'ici, j'aimerais savoir si c'est bon et si oui est-ce que vous pourriez m'aider à finir ....
En prennant l'équation modulo 12, on obtient l'équation suivante 3y+8z
5[12]. De ce fait, on peut dire que 3y+8z=12k+5 , k
. En observant l'équation on voit que le couple (y,z)=(36k-1,1-12k) est solution de cette équation. Ainsi: 3(36k+1-y)=-8(1-12k-z)
Or 3 et 8 sont premiers entre eux donc:
3 divise (1-12k-z) 
1-12k-z=3m , m
z = 1-12k-3m
-8 divise (36k-1-y) 36k-1-y=-8m , m
y= 36k-1+8m
J'ai donc trouvé y et z mais modulo 12 mais apres je ne suis pas sur pour repasser à l'équation de départ pour obtenir x ....
Voilà merci d'avance à ce qui auront l'amabilité de m'aider.
Merci.
Bonsoir
personnellement, j'aborderais cela de la façon suivante :
(-4 ; 1 ; 2) est solution
x'=x+4
y'=y-1
z'=z-2
vérifient donc 12x'+15y'+20z'=0
ce qui permet de voir que nécessairement :
x' est multiple de 5 : x' = 5p
y' est multiple de 4 : y' = 4q
z' est multiple de 3 : z' = 3r
avec p + q + r = 0
réciproquement, pour tout couple (p;q) de 
on vérifie que
x=5p-4 ; y=4q+1 et z=2-3(p+q) est bien un triplet solution de l'équation de départ.
d'où ton ensemble solution
MM
Si tu n'arrives pas à trouver une "solution particulière" tu peux procéder ainsi :
Soit S = {(x,y,z) 3 |12x + 15y + 20z = 7}
Analyse: Soit (x,y,z) S .
.Modulo 4 tu as y 1 donc si Y = (y - 1)/4 tu as 3x + 15Y + 5z = -2
.Modulo 5 tu as 3x 3 donc x 1 et si X = (x - 1)/5 on a : 3X + 3Y + z = -2.
.Modulo 3 : z -1 et si Z = (z + 1)/3 tu obtiens X + Y + Z = 0.
C'est assez satisfaisant pour faire un réciproque (la synthèse des "anciens")
Synthèse:Soit (p,q,r) 3 tel que p + q + r = 0 et soient x = 5p + 1 , y = 4q +1 , z = 3r -1. On a 12x + 15y + 20z = 7 + 60(p + q + r) = 7
Ainsi S = {(5p + 1 , 4q +1 , 3r -1) |(p,q,r) 3 et p + q + t = 0 }