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Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète

Posté par
zeubi94
12-12-12 à 17:27

Bonjour est-ce que quelqu'un pourrait m'aider avec cette question s'il vous plait?  

Posons X la durée de vie d'un matériel informatique.

On sait que  X ~ (y1/8) ,
où y1/8 est le 1/8-percentile d'une variable aléatoire Y définie par la densité de probabilité :

fY(x) = 3x2 , pour 0≤ x ≤ 1
Se rappeler que pour toute variable aléatoire Y on a F(yp) = p pour n'importe quel  0 < p < 1.
et on sait que  q = P( X ≥ 1 ).

4) Le matériel informatique est installé le jour t=1 et est observé qu'une seule fois au début de chaque jour.
P(X ≥ n) pour tout nombre entier n, i.e. la probabilité que le matériel fonctionne pendant au moins n jours.
Comment la perte de mémoire est-elle révéléee ici?

5) Posons Z la variable aléatoire qui décrit le nombre de jours où le matériel a fonctionné avant échec, e.g Si au premier jour de l'observation un jour après l'installation ( appelé début du 2ème jour t=2) le matériel ne fonctionne pas alors  Z=1. De même si le matériel fonctionnait durant la première  n - 1 observation mais ne fonctionnait pas la nth fois  Z = n , pour tout n ≥ 1.

a) trouver P(Z= k) , pour k ≥ 0
b)Est-il vrai que Z a une loi géométrique  p = 1 - q, avec q definie au-dessus

Posté par
verdurin
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète 12-12-12 à 19:27

Bonsoir,
il manque un morceau important de l'énoncé : la loi suivie par X.
en effet tel que tu le définis y1/8 est une constante, pas une loi de probabilité.

Posté par
zeubi94
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète 12-12-12 à 19:32

Excusez moi : on sait que X  ~ Expon(y1/8)

Posté par
verdurin
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète 12-12-12 à 19:51

La première chose à faire est sans doute de calculer le paramètre de la loi exponentielle.

Pour cela il faut résoudre dans [0;1] l'équation : \int_0^y 3x^2\text{d}x=\frac18

Posté par
zeubi94
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète 12-12-12 à 20:18

Je n'ai pas écrit les premières questions car je pensais que ce serait inutile

1) Trouver y1/8
FY(x) = x3 donc x3=1/2 d'où x= 1/2.

2) Calculer l'espérance et la variance

E(X) = x.f(x) dx = 3/4
Var (X) = E(X2) - (E(X))2=3/80

Posté par
verdurin
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète 12-12-12 à 20:32

Je ne suis pas certain de bien comprendre la question 4.
Là aussi il manque des morceaux de l'énoncé.

La perte de mémoire est révélée par le fait que P(Xn+1|Xn)=1/2 et donc ne dépend pas de n. En d'autres termes, le fait que le matériel aie fonctionné n jours ne ne apprend rien sur son fonctionnement le jour suivant.

Pour la question 5, si j'ai bien compris la numérotation, qui est assez peu claire, des jours, alors Z suit une loi géométrique de paramètre 1/2.

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