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Vérification démo arithmétique

Posté par
infophile 26-11-09 à 17:07

Bonjour,

Pouvez-vous vérifier ma démo, je ne suis pas sûr de moi à 100%...

Citation :
On note P l'ensemble des éléments de 3$ \{1,...,N-1\} qui sont premiers avec N. On définit 3$ \varphi(N)=Card(P)

Soit un entier 3$ a\ge 1 premier avec N. Pour 3$ k\in \{1,...,N-1\} on désigne par 3$ r_k le reste de la division de 3$ ak par N.

En considérant le produit 3$ \prod_{k\in P}ak montrer que 3$ a^{\varphi(N)}-1 est divisible par N.


Démo : 3$ \prod_{k\in P}ak=a^{\varphi(N)}\prod_{k\in P}k donc 3$ \prod_{k\in P}ak-\prod_{k\in P}k=(a^{\varphi(N)}-1)\prod_{k\in P}k

3$ \forall k\in \{1,...,N-1\}, ak=q_kN+r_k donc 3$ \prod_{k\in P}(q_kN+r_k)-\prod_{k\in P}k=\alpha N+\prod_{k\in P}r_k-\prod_{k\in P}k

Par ailleurs 3$ \forall k\in P, r_k\in P, en effet sinon 3$ r_k=\beta N et 3$ ak=(q_k+\beta)N et par Gauss c'est impossible.

De plus les 3$ r_k sont 2 à 2 distincts car sinon 3$ a(k_1-k_2)=N(q_{k_1}-q_{k_2}) et par Gauss N divise 3$ k_1-k_2 soit 3$ k_1=k_2.

Donc 3$ \prod_{k\in P}r_k=\prod_{k\in P}k et par suite 3$ (a^{\varphi(N)}-1)\prod_{k\in P}k=\alpha N.

Et N ne divise pas le produit donc divise 3$ a^{\varphi(N)}-1.

Merci

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 19:13

Ca m'a pas l'air trop faux, seulement la démo des r_k distincts est demandé à la question suivante, et je vois pas comment m'en sortir sans...

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 19:28

Salut,
C'est juste me semble t-il, j'ai fait ce sujet y'a pas longtemps et il me semble qu'on s'en sort sans les r_k...
faut voir que 5$ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*=a.(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*

avec ça tu as sauf erreur que:

5$ \Bigprod_{k\in P} \bar{ak}=\Bigprod_{k\in P} \bar{k}

mais aussi

5$ \bar{a}^{\phi(n)}.\Bigprod_{k\in P} \bar{k}=\Bigprod_{k\in P} \bar{ak}

si tu joint les 2 bouts,c'est gagner,je crois bien.

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 20:10

Salut robby

Ah oui tiens ! Merci, mais si y'a pas de coquilles dans ma preuve je vais la garder elle fait 2 en 1 comme ça.

C'est mines 2007? Je viens de terminer les 2 premières parties, il est assez intéressant le sujet!

En général j'aime bien leur sujet, tandis que Centrale bof...

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 20:33

Citation :
C'est mines 2007?

je sais pas l'année, mais oui,c'est mines-pont.
C'est le sujet avec l'étude de la série des X(n)/n ou X est une application bien particulière...
Citation :
Je viens de terminer les 2 premières parties

c'est quasiment fini alors!

Centrale...c'est comment dire...hard pour moi.

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 21:05

Oui X est un caractère

Centrale c'est pas plus dur que les mines, je trouve que c'est plus calculatoire mais moins astucieux.

Et l'épreuve au concours c'est avant tout du sprint, ce qui me convient pas, j'ai le cerf volant

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 26-11-09 à 21:25

Citation :
j'ai le cerf volant

>ah pas mal!

du sprint,oui et non, faut répondre juste surtout et de manière assez concise si possible...aller vite, c'est chaud.
Toute façon, toi comme moi, n'avons pas d'autres choix que de "manger" des annales pour s'acclimater...
Bonne soirée!

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 12:52

Arf je bloque sur la toute dernière, grrr !

Tu l'avais trouvé dure ?

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:01

mais je veux pas d'indice hein !

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:09

Citation :
Arf je bloque sur la toute dernière, grrr !

la dernière,c'est le truc avec une intégrale bizarre qui sort du chapeau non?

faut faire avec la question précédente je crois,faut regarder t->x^t^2 sur [1,+\infty[ puis aprés avoir bien manipulé tout ça,faire le changement de variable barbare u=t\sqrt{-ln(t)}

si tu vois toujours pas,je pourrais poster la soluce ou quelques indices supplémentaires.

Citation :
Tu l'avais trouvé dure ?

j'ai bloqué à l

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:10

la 9 puis de la 14 à la fin.
mais c'était pas mal comme problème!

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:40

J'ai fini par trouver en fait par contre le changement de variable n'est pas barbare, il est affine ! c'est -ln(x) sous la racine !

Bon y'a plus qu'à latexifier tout ça

Posté par
robby3re : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:46

oué,voilà...
ouais,affine...
Bonne aprem!

Posté par
infophilere : Vérification démo arithmétique 27-11-09 à 13:48

Bon aprem à toi aussi !


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