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AB = In ==> BA = In
Bonjour
Connaissez vous une preuve du résultat du titre ne faisant intervenir que le produit matriciel ( pas de passages par les endo, ou le determinant) , a priori elle serait présente dans le livre jardin d'eiden , mais je ne le possède pas .
merci
Bonsoir,
Peux-tu préciser le contexte de ta question ?
A et B sont des matrices carrées de dimension n ?
IN désigne la matrice identité ?
Bonjour,
j'ai compris A et B sont 2 matrices carrées de dimension n et In est la matrice identité de dimension n et vous avez AB=In
si A est inversible A.A-1=A-1.A=I et A-1=B car AB=In donc A-1 A=BA=In
ne faisant intervenir que le produit matriciel ( pas de passages par les endo, ou le determinant)
Bonsoir 
J'ai cette idée, mais j'arrive pas à conclure :
On part de AB = I
Cela signifie que pour tout Y vecteur colonne, la relation X = BY entraîne Y = AX.
Mais alors BY = BAX = X d'où (BA - I)X = 0
Comment décoincer la conclusion BA = I dans la mesure où il manque un "quel que soit X" pour conclure ...
Oh la la, phyelec, tu raisonne comme si l'anneau des matrices carrées était intègre. Ce n'est sûrement pas le cas !
Et oui, vous avez raison GBZM, je n'avais cet aspect en tête quand j'ai rédigé, grossière erreur de ma part.
Bonjour,
je sais le démontrer avec une hypothèse plus forte :
s'il existe une unique matrice telle que
alors
.
En effet on a donc
par unicité.
Et il y a une chose que je ne sais pas :
si A possède un inverse à droite, est-il unique ?
Si A est inversible la réponse est oui ! Mais sinon, je ne sais pas ...
Moi aussi, il y a quelque chose que je ne sais pas :
Dans un anneau ni commutatif ni intègre, d'élément neutre e pour la loi noté multiplicativement, peut-on avoir ab = e
et
ba
e ?
Si la réponse est non, c'est terminé pour les matrices.
Si la réponse est oui, il faudra utiliser quelque chose qui est propre aux matrices pour réussir à démontrer que c'est impossible avec les matrices.
Bonjour Sylvieg,
Tu prends l'anneau des endomorphismes linéaires de ,
le décalage d'un cran à droite avec ajout de 0 au début,
le décalage d'un cran à gauche avec suppression du terme du début. On a bien
égal à l'identité et
différent de l'identité.
Presque, mais ab n'est pas l'identité mais seulement l'identité sur les N-1 premiers termes. Ca ne fera l'identité que si b est à valeurs dans mais alors ce n'est pas exactement un endomorphisme de
mais un morphisme entre deux e.v de même dimension
Par contre dans un espace de Hilbert (de suites) ça fonctionnera sans problème puisqu'on n'aura pas cette barrière à l'infini pour le shift
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, l'exercice 5 de ce lien répond aux questions laissées en suspens...
Sinon pour l'exo voilà deux autres pistes
Piste 1 : Constater que BA est symétrique.
C'est parce que implique
et comme
.
Ensuite, j'ai pas essayé mais je suppose qu'il doit être possible de montrer que est inversible en jouant sur le fait que
et
le sont ? Si c'est possible ça permet de supposer sans perte de généralité que A et B sont des matrices symétriques
Piste 2 : Il est clair que si A est inversible, le problème est trivial. On utilise la densité de GLn dans Mn. On se donne une suite d'inversibles qui tendent vers A. Par continuité du produit matriciel,
tend vers BA.
En notant notre matrice qui tend vers I, on a
et donc,
On est donc ramené à montrer que la norme de reste bornée, ou plus généralement, que
tend vers 0
Pour l'exo 5 de carpediem, je ne pense pas que cela réponde à la question puisqu'il est supposé que tout élement admet une inverse à droite, ce qui n'est pas le cas de 0 par exemple 
Pour l'exo 5 de carpediem, je ne pense pas que cela réponde à la question puisqu'il est supposé que tout élement admet une inverse à droite, ce qui n'est pas le cas de 0 par exemple
On se place dans la structure suivante: les matrices ayant un inverse à droite. Dessus, la multiplication est associative et admet un neutre à droite.
Donc c'est un groupe, et pour chacun des éléments, cet inverse à droite est nécessairement l'inverse.....
Punaise je suis vraiment à côté de mes pompes aujourd'hui
Il faut montrer que le produit matriciel est une loi de composition interne pour ton ensemble, c'est-à-dire que l'ensemble des matrices inversibles à droite est stable par produit matriciel, non
Bonjour.
On remarque que, si est inversible, alors l'égalité
implique que
(en multipliant l'égalité précédente à droite par
) et donc que
.
Il reste à démontrer que est inversible.
On sait que est une famille liée car elle est composée de
vecteurs dans un espace de dimension
.
Il existe donc une famille de scalaires non tous nuls telle que
Si est le plus petit indice
tel que
, la relation précédente s'écrit:
Multiplions par à gauche, en sachant que
:
Et l'égalité précédente peut s'écrire sous la forme:
Et ceci montre que est inversible.
On peut généraliser:
si est un élément d'une K-algèbre (unitaire)
admettant un polynôme minimal, s'il existe
dans
tel que
, alors
Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
Un truc qui a un inverse à droite a-t-il nécessairement un inverse à droite qui a un inverse à droite ?
Punaise je suis vraiment à côté de mes pompes aujourd'hui
Il faut montrer que le produit matriciel est une loi de composition interne pour ton ensemble, c'est-à-dire que l'ensemble des matrices inversibles à droite est stable par produit matriciel, non
Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
Avez-vous lu le message de perroquet à 16h10 ?
N'y est utilisée que la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.
Bravo l'artiste
Sylvieg : dans le texte de perroquet je ne vois pas pourquoi AkBk serait l'identité ?
Avez-vous lu le message de perroquet à 16h10 ?
N'y est utilisée que la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.
Bravo l'artiste
Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :
Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.
Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible
Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :
Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.
Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible
Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :
Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.
Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible
Si on l'appelle théorème du rang, oui, mais le théorème d'isomorphisme est valable dans beaucoup de catégories
On peut travailler dans l'anneau M_n(K) vu comme l'ensemble des tableaux nxn avec deux opérations, des définitions de injective, surjective, image et noyau en fonction de ces opérations, et paraphraser la preuve du théorème en disant que Im(B) + Ker(B) est inclus dans M_n(K) et que B injectif implique qu'ils sont en somme directe (parce que si Y = BX est d'image nulle par B, il est nul donc BX = 0 donc X = 0) et donc Im(B) = M_n(K) et B est surjective, donc B est bijective
Ulmière : oui mais ça je l'avais écrit hier
Oui, mais sans parler de systèmes de Cramer qui sont définis à l'aide d'un déterminant en général
Après, si on se permet de parler de rang
Nulle part, elle est très bien cette démonstration
est-ce qu'on pourrait écrire?
AB=I
BAB=BI
BAB=IB
(BA)B=IB donc I=BA
Non, l'anneau des matrices n'est pas intègre et tu ne peux pas "simplifier par B" des deux côtés. Pour pouvoir le faire, il faut d'abord montrer que B est inversible.
merci Ulmere pour votre réponse. En fait dans mon idée je ne simplifiais pas j'identifiais terme à terme. Donc c'est faux. Merci. Je suis perplexe.
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