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Niveau Licence Maths 1e ann
Abus de notation ?
Posté par SkyMtn
Bonjour. Il y a quelque chose qui me chiffonne dans cette écriture (les "..." sont volontaire, on peut les remplacer par ce qui faut). Comment peut-on définir cette "application" par la donnée d'un couple
? Car implicitement on est capable d'extraire un x et un y dans leurs ensembles respectifs, or rien ne le garantit :/ Même, quand on écrit par exemple
, cela signifie implicitement que x et y sont réels, alors qu'ils ne sont nulle part quantifiés. Si cela est toléré alors on peut montrer que toute application
est surjective : la preuve soit
, alors
et
est surjective ! (je sais que c'est complètement faux d'écrire ça, c'est pour illustrer, mais c'est aussi maladroit que de commencer une phrase par "soit un couple (x,y)...".
S'agit-il d'un abus ? Si oui pourquoi on le tolère, sinon pourquoi je trouve ça bizarre ? 
Bonjour
Je n'ai rien compris à votre interrogation. Qu'entendez-vous par "extraire" ?
Il n'y a rien à comprendre, c'est une application à deux variables. L'ensemble des valeurs pouvant être rentrées est donc le produit cartésien entre les deux ensembles considérés...
n'est pas du tout implicite. ça veut dire ce que ça veut dire, revoir le produit cartésien si doute.
Je ne comprends pas non plus la "démo".
Bonjour
Il ne s'agit nullement d'un abus, si on sait que le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble de tous les couples (a,b) avec a quelconque dans A et b quelconque dans B
Et je ne vois pas le rapport avec ta soi disant preuve que toute f serait surjective 
Bah justement... dans la notation les variables x et y sont libres.
En théorie des ensembles, étant donnés deux objet on pose
(ici ces objets sont quantifiés) et on définit le produit cartésien en compréhension par
.
Mon problème c'est que cela induit qu'on peut définir un objet avec plusieurs occurrences sans les quantifier. :/
Pour moi : un objet (i.e. une lettre) est quantifié dès lors qu'il apparait après un quantificateur d'universalité ou d'existence. :/
Dans ce cas on fait une exception en définissant la "quantification" d'un couple par ce biais. Parce qu'en toute rigueur, on devrait dire par exemple "fixons . Il existe alors
de sorte que
...". Autrement faudrait définir un projecteur de "coordonnées", mais je ne vois pas comment le faire formellement surtout ^^
Oui mais c'est du pipo total...
c'est trivial par définition du produit cartésien AxB, pas besoin de le prouver.
Trivial ? Je ne pense pas 
Si on balance comme ça (x,y) à un ordinateur, il ne saura pas quoi faire ^^ On a quand même deux variables libres qui traînent... pour moi c'est troublant
Si on balance (x,y) à un ordinateur il ne va rien faire surtout, puisqu'on ne lui aura rien demandé.
Je peux comprendre que tu ne sois pas convaincu mais je ne vois pas trop pourquoi. Qu'est-ce qui te gêne concrètement ? Toujours pas convaincu que quantifier (x,y) c'est quantifier x et quantifier y ? D'autant que la quantification n'est pas le sine qua non de la proposition : les quantités peuvent avoir été introduites.
Disons que n'est pas une formule bien formée car il y a deux occurrences : une pour x, une autre pour y, sans qu'aucune des lettre ne soit explicitement "fixée" dans la théorie :/
Des réels quelconques, bel et bien quantifiés au préalable. (mais ça tu n'as pas l'air d'en être convaincu)
Une occurrence d'un couple de R^2 équivaut à deux occurrences d'éléments de R.
Et si tu es vraiment un sceptique à 100%, on peut finir de s'en convaincre en remarquant que la proposition est équivalente à
où P et P' sont des propositions (ici, appartenance à R et elles sont équivalentes), donc nécessairement toute proposition sur
entraînera le même résultat par définition du produit cartésien.
D'accord, mais il faut au préalable évoquer cette "transformation" d'écriture (au moins une fois).
Je pense que c'est un petit peu plus clair vu comme ça
Oui, c'est vrai que c'est pas si évident la première fois qu'on se pose la question, mais dans la pratique c'est ce qui se passe tout le temps.
Je suis d'ailleurs d'accord pour dire qu'écrire fait moins mal aux yeux, mais il faut bien comprendre que c'est la même chose.
De toute façon si on veut vraiment être rigoureux il ne faut pas mettre de symbole appartient après un quantificateur. est un raccourci pour
et ça n'a pas moins de sens que
.
Schtromphmol @ 10-12-2017 à 18:58
De toute façon si on veut vraiment être rigoureux il ne faut pas mettre de symbole appartient après un quantificateur.\in\R^2, \phi(x,y))
est un raccourci pour \in \R^2 \Rightarrow \phi(x,y))
et ça n'a pas moins de sens que )
.
De toute façon si on veut vraiment être rigoureux il ne faut pas mettre de symbole appartient après un quantificateur.
Exactement. Dans la pratique on allège les notations mais les gens ont tendance à oublier la proposition cachée dessous.
Schtromphmol Biensûr, mais écrire est assez lourd (pour d'autre phrases, là ça passe encore), donc on fait un petit "raccourci" d'écriture mais qui ne nuit pas trop à la compréhension ^^
Ça vient aussi (à mon avis) en grande partie du fait que l'enseignement mathématique jusqu'à un certain stade entretient chez l'élève une vision "théorie des types" (ça c'est des carottes et ça c'est des choux et on mélange pas des carottes et des choux) et il peut sembler curieux après de ne pas préciser la nature d'un objet dès son instanciation quand on entre dans le monde bourbakiste de l'université française ^^
SkyMtn @ 10-12-2017 à 19:04
Schtromphmol Biensûr, mais écrire\in\R^2\Rightarrow \phi(x,y))
est assez lourd (pour d'autre phrases, là ça passe encore), donc on fait un petit "raccourci" d'écriture mais qui ne nuit pas trop à la compréhension ^^
Schtromphmol Biensûr, mais écrire
Si tu préfères