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Niveau Licence Maths 1e ann
Analyse complexe
Posté par cafeadicto
Bonsoir,
je re-fais un peu d'analyse complexe de base et j'ai quelques doutes sur 2 ou 3 questions (et j'ai honte):
1) Pour où
est le cercle de centre 0 et rayon 1, j'avais envie d'appliquer le théorème des résidus et de me ramener au calcul du résidus en 0. Je n'arrive pas à determiner ce dernier...
2) pour les études de convergences de séries entières , déterminer le rayonde convergence ça va, mais pour l'etude de la convergence sur le bord du disque de convergence, je n'ai aucun souvenir... A ce sujet j'ai deux exemples sous la main :
, (
), et,
(R=1).
Merci d'avance pour votre aide!!
Bonjour,
1) Il s'agit d'un calcul à faire et il y a plusieurs moyens d'y parvenir donc c'est difficile de t'aider comme ca.
Quelle a été ta méthode pour obtenir le résidu ? Et ou as-tu bloqué ?
2) On peut tout résoudre d'un coup si tu connais le comportement au bord de la série puisque dans ton premier exemple :
donc en posant
avec
on retombe sur (*).
Dans ton deuxième exemple, on peut encore se ramener au cas (*) en posant
D'accord ?
Le comportement au bord de (*) peut se traiter via la transformation d'Abel ou un de ces lemmes disant : toute série du type où
est bornée et
est une suite réelle décroissante vers 0 converge.
Merci beaucoup!!
Pour la 2, j'ai bien compris!
Pour la 1), les formules toutes faites dont je me souvient ne marchent que pour des poles d'ordre 1, j'ia donc essayé de développer en série de Laurent en écrivant le développement de l'exponentielle et effectuant la division à la main après, mais ce que j'obtiens parrait assez fauat, je trouve 11/9 comme résidus en 0, en en demandant a Maple la valeur de l'integrale j'ai 22i\pi/279, ce qui donnerait 11/279 comme résidu. En tout cas je suis intéréessé pour connaitre les différentes méthodes.
Merci encore!!
Maple ne s'est pas trompé.
Tu peux effectivement développer en série de Laurent sur la couronne A(0,9) f.
(A bien y regarder, tu n'es pas obligé de déterminer complètement la série de Laurent, mais juste voir comment obtenir le coefficient devant 1/z.)
La première question à te poser c'est : quelle est le d.e.l de 1/(z-9)^2 sur A(0,9).
Pour y répondre, tu peux constater que .
salut
les poles sont d'odres 2 donc :
pour 0 : lim z² * f(z) en 0
pour 9 : lim (z-9)² * f(z) en 9
tu as donc les deux residus
D'accord, j'ai vu mon erreur pour le dévelopement en série de Laurent de tout à l'heure j'essaye de le faire bien maintenant... Pour la méthode lim z²f(z) en 0, ça me rapelle en effet quelque chose, mais du coup la je trouve que le résidus en 0 vaut 1/81 et non 11/279 comme il semblait etre le cas. A moins que le résidus en 9 joue, mais la je ne comprenddrait pas pourquoi puisque 9 n'est pas dans le disque unité
Merci!
Bonjour miikou et bienvenu
Ce que tu dis est faux : il y a bien une formule qui donne le résidue d'un fonction méromorphe de pole quelconque, mais ce n'est pas ca.
ou D désigne l'opérateur de dérivation.
Donc ici, la bonne formule serait plutot
Par contre, comme on intègre sur C(0,1), il n'est pas utile d'avoir le résidue en z=9, ce point n'est pas inclus dans le domaine intéressé.
salut,
merci de ton acceuil
ah oui c'est pour ca, désolé pour ma réponse éronnée mes souvenirs sont mauvais :p