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Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:34

Non, je te demande pas une valeur exacte, mais on a quand même une écriture !!!

Que vaut e^{i \theta} en forme cartésienne, lorsque \theta est réel ? (élémentaire)

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:38

cos+i sin

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:41

ahh mais en fait ca donne e^(-i pi/2) non?

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:45

Ok pour le \cos \theta + i \sin \theta.

Je ne comprends pas d'où sort ton dernier résultat, mais passons.

Est-ce que e^{-i} n'est pas de la forme e^{i \theta} ?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:49

si -i = cos(pi/2) - i sin(pi/2)

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:52

Oui, mais ce n'est pas ça qu'on cherche ...

Je ne comprends pas trop ton blocage :

e^{-i} = e^{(-1)i} = \cos(-1) + i \, \sin(-1) = \cos 1 - i \, \sin 1

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:54

ah ouai quand même... beh vois tu jamais je n'aurai pensé a celà :s

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:56

Bah, c'est l'écriture sous forme cartésienne de l'exponentielle complexe.
Il n'y a pas à y penser, c'est à savoir, et il n'y a rien de compliqué.

Tu n'as jamais manipulé l'exponentielle complexe ?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:00

beh si au lycée, mais pas plus que ca en licence !!

En tout cas MERCI MERCI et MERCI

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:09

Il ne faut pas oublier les acquis du lycée.

Tout n'est pas fini, que trouves-tu au final, pour l'intégrale ?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:19

vu qu'il faut prendre la partie imaginaire pour avoir l'intégrale avec le sinus, alors je trouve

e^{-2}(cos(1)+sin(1)) sauf erreur

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:23

Je ne suis pas d'accord. Il manque le facteur \pi, et j'ai un facteur \frac{1}{2} devant le sinus.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:27

oui moi aussi j'ai ca je l'avais mis dans un coin pour ne pas l'oublier et résultat : je l'ai oublié :/

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:29

ahh non pardon
j'ai bien le pi devant
mais le 1/2 et lui aussi devant pas juste devant le sinus

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:36

3$ \frac{(-1+2i)e^{-2-i}}{2} = \frac{(-1+2i)(\cos 1 - i \sin 1)}{2} \\ = \frac{(-\cos 1 + 2\sin 1) + i (2 \cos 1 + \sin 1)}{2}.

Donc la partie imaginaire est \frac{2 \cos 1 + \sin 1}{2} = \cos 1 + \frac{1}{2} \sin 1.
Il ne reste plus qu'à multiplier par \pi.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:41

ah oui j'ai oublié un 2 un moment pour celà

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:42

beh merci beaucoup !! en tout cas
heureusement que je n'ai pas fait cet examen la car j'aurai bien galéré !!

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:52

De rien, c'était un plaisir.

Juste une remarque : si tu n'es pas à l'aise avec les exponentielles complexes, entraine-toi un peu.
En examen, ce genre de petit calcul ne devrait pas prendre plus de 20 secondes, les difficultés sont ailleurs.

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 20:53

Citation :
heureusement que je n'ai pas fait cet examen la car j'aurai bien galéré !!

Quand tu auras calculé plus d'une dizaine d'intégrales de toutes sortes par la méthode des résidus, tu trouveras ça facile. ^^

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 21:01

oui oui merci

mes soucis sont souvent :

- erreurs de calcul
- ne pas savoir quel domaine prendre
- ne pas trouver les trucs genre avec e^-i (ou mal utiliser le truc : moi j'avais écris cos(pi/2) - i sin(pi/2))

Tu vois je viens de regarder un autre exercice du même genre (il y a le corrigé cette fois ci) et je ne vois pas trop pourquoi c'est ce domaine là qui a été pris ^^)

En tout cas merci encore

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 21:13

Les erreurs de calcul, c'est un vrai fléau, mais la seule manière d'y remédier, c'est d'être attentif.
Pour le domaine, il y a un certain nombre de domaines à connaître, et quelques astuces à connaître, mais ça viendra.

Tu peux toujours poster ton nouveau problème pour qu'on en discute.

Histoire de finaliser notre travail :

5$ \blue \fbox{\Bigint_{-\infty}^{+\infty} \, \frac{t \, \sin{t}}{t^2 + 2t +5} \, dt = \frac{\pi}{2e^2}(2 \cos{\, 1} + \sin{\,1})}

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