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Niveau Licence Maths 1e ann
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Analyse complexe et formule des résidus

Posté par
NsSommes1
15-05-10 à 10:36

Bonjour à tous!
En essayant de faire un examen des années précédentes, je suis tombé sur un exercice qui me pose problème.
Je dois calculer l'intégrale,

\Bigint_0^{4}\frac{x sin(x)}{x^2+2x+5}dx

Je pense savoir quel théorème utiliser : celui des résidus!!
Mais faut-il l'appliquer bêtement, ou alors faut-il construire un domaine élémentaire? Et comment vois-t-on la façon de procéder?

Merci de vos réponses.

Posté par
bamboum
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 16:13

Formule d'Euler pour sin(x) et décomposition du dénominateur en (x+2+i)(x+2-i)

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 17:54

je viens de me rendre compte que je me suis trompé dans les bornes et qu'il s'agit de - et + .

Mais donc apparemment, je dois juste appliquer bêtement mon théorème...

merci

Posté par
LeFou
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:01

Bonjour, j'ai un peu du mal à voir comment

Citation :
Formule d'Euler pour sin(x) et décomposition du dénominateur en (x+2+i)(x+2-i)


Ceci peut servir ici

Surtout la formule d'Euler, qu'est-ce que ça chance pour l'intégrale ?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:08

salut LeFou, beh toi comment ferais tu?

Posté par
LeFou
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:10

Ah moi, je ne ferais rien, je ne suis qu'en SUP, je ne sais pas trop comment faire, et en fait mon idée première était de passer par les complexes mais je vois pas trop où sa mène, donc c'est pour ça que j'aimerais savoir comment s'y prendre face à ce genre d'intégrales!

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:12

Bonjour.

Ok pour les bornes, c'est déjà plus rassurant.

Est-ce que tu as déjà appliqué le théorème des résidus pour calculer une intégrale de ce style ?

Si oui, bah ici, c'est à peu près la même méthode.
Si tu n'as jamais fait d'exo de ce type en TD, tu devrais peut-être regardé un exo corrigé ou un exemple du cours sur une intégrale "simple", ça te donnerai des idées.

Je ne comprends pas ce que tu appelles "appliquer bêtement le théorème" : pour appliquer le théorème, il faut vérifier les hypothèses, en particulier intégrer une fonction holomorphe sur un chemin fermé.
Quel est ton chemin fermé ici ?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:21

Salut Arkhnor,

oui j'ai déjà appliqué le théorème mais pas à une fonction de ce style, enfin en TD quand j'avais un sin ou un cos dans ma fonction, on intégrait sur 0,2 puis on se ramenait sur le bord du disque unité en posant z=eit

mais comme les bornes ne sont pas les mêmes je ne vois pas comment faire...

après quand tu dis regarder comme une intégrale simple c'est ce que j'appelle intégrer bêtement le théorème.

Parfois aussi en TD on créait un domaine élémentaire du style "pacman" et donc ma question est la : dois je faire comme une intégrale simple ou alors dois-je créer un domaine "pacman"?

apparement, je dois faire comme une intégrale simple vu ton post ^^

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:22

ah oui dans l'exercice on ne donne pas de chemin fermé sur lequel intégrer, voila aussi ma difficulté...

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:27

La première méthode ne marche que quand on intègre  sur [0,2\pi] des fractions rationnelles où n'interviennent que des fonctions trigonométriques.

En fait, ici, il va falloir intégrer sur un contour en forme de demi-lune. (en passant, l'art et la manière de trouver le contour d'intégration vient avec l'expérience : il y a bien quelques méthodes qui marchent à coup sur, mais c'est limité)

Je te propose d'intégrer la fonction 3$ f(z) = \frac{z e^{iz}}{z^2+2z+5} sur un contour en demi-lune : c'est-à-dire le segment réel [-R,+R] plus le demi-cercle supérieur centré en 0, de rayon R.

Applique le théorème des résidus à cette intégrale, montre que l'intégrale sur le demi-cercle tends vers 0 quand R tends vers l'infini, et conclus.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 18:37

je te remercie tu réponds entièrement a ma question.

Mais pourquoi as tu changer mon sin(z) en eiz?

Aussi, pourquoi intégrer sur un contour en demi-lune et non pas sur un contour du style "pacman" ou alors sur { z tel que  |z|R avec Im(z)>0}?

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 19:36

Pour le contour, on veut calculer l'intégrale de la fonction sur l'axe réel tout entier.
On approche donc l'axe réel par le segment [-R,+R], puis on ferme le contour avec un demi-cercle.

Un contour pacman peut rendre des services si l'on veut intégrer une fonction sur [0,+\infty[. (mais il n'est pas le seul)
Le dernier contour que tu proposes évite 0, il est donc intéressant quand on a une singularité en 0. (ne pas oublier que le contour d'intégration doit être choisi dans un domaine où la fonction est holomorphe)

J'ai remplacé le sinus par une exponentielle pour une raison simple : dans le contour que j'ai proposé, on va devoir prouver que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand R tends vers l'infini.
Il serait donc préférable que la fonction qu'on intégre tende elle aussi vers 0 lorsque l'on va "très haut" dans le plan complexe.
La fonction avec le sinus n'a pas ce bon goût de tendre vers 0, alors que celle avec l'exponentielle oui.

Une fois calculé l'intégrale 3$ \Bigint_{-\infty}^{+\infty}\frac{t e^{it}}{t^2+2t+5}dt, en identifiant les parties imaginaires, on obtient l'intégrale initiale (et en identifiant les parties réelles, on obtient celle avec un cosinus à la place du sinus : deux intégrales pour le prix d'une ! )

En passant, la valeur de l'intégrale n'est pas très "esthétique", ne crois pas forcément à une erreur de calcul ! ^^

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 19:57

merci beaucoup pour ces explications

mais au lieu de juste remplacer le sinus par l'exponentielle, ne peut on pas juste remplacer le sinus par sa formule d'Euler?

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 20:17

On aurait pu faire ça, mais il aurait fallut traiter séparément le terme en e^{iz} et le terme en e^{-iz}.
Ma méthode ne permet de traiter que le premier, et en plus, pour traiter le second, il aurait fallu changer le contour, et prendre un demi-cercle vers le bas, ce qui oblige à calculer un autre résidu.

Bref, ça prend 3 fois plus de temps.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 22:30

Donc en gros si je fais par la formule d'Euler je dois intégrer sur un cercle entier par contre si j'utilise ta méthode j'intègre sur un demi-cercle orienté vers le haut?

Merci pour toutes ces indications

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 22:42

Non, si tu utilises la formule d'Euler, tu dois calculer l'intégrale de 3$ \frac{1}{2i}(\frac{e^{iz}}{z^2+2z+5} - \frac{e^{-iz}}{z^2+2z+5}).

Et tu dois appliquer le théorème des résidus à chaque terme, avec un contour différent pour chacun : un demi-cercle vers le haut pour le premier, et un vers le bas pour le second, afin que les intégrales sur les demi-cercles tendent vers 0.

Faire ça est complétement "idiot", puisqu'on a en fait besoin de calculer uniquement l'intégrale du premier terme, par l'astuce que j'ai signalé plus haut.
Calculer le second terme en examen te ferait perdre du temps, et augmente donc les risques d'erreur de calcul.

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 15-05-10 à 22:44

J'ai oublié de multiplier l'expression par z, mais on s'est compris.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 09:03

Re bonjour

Merci! mais encore une question ^^

Le fait d'intégrer \frac{ze^it}{z^2+2z+5} ressemble à une intégrale du type Fourier, le soucis c'est qu'il y a un t devant le numérateur alors que dans mon cours, il n'y en a pas... est ce que c'est génant ou alors je peux quand même appliquer cette méthode

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 09:31

Bon j'ai essayé de faire sans la méthode de type Fourier ^^

J'essaye donc de prouver que l'intégrale sur le demi-cercle tends vers 0 quand R tend vers l'infini.
j'ai essayé de majorer le module de mon intégrale mais j'ai un soucis

comment majore-t-on : e^{iRe^{it}} ?? est-ce majoré par R ??

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 09:35

j'ai du faire une erreur car je trouve que l'intégrale tend vers l'infini et non zéro  :/  !!

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 10:12

Si tu connais la formule des résidus pour les intégrales de type Fourier, c'est gagné ! Le contour que je te propose, ce n'est ni plus ni moins que celui qu'on utilise pour prouver cette formule.
En clair, je te proposais de démontrer la formule dans ton cas particulier.

La formule que tu mentionnes permet de calculer les intégrales de la forme 3$ \Bigint_{\mathbb{R}} \frac{P(t)}{Q(t)}e^{it}dt, où P et Q sont deux polynômes avec \deg P < \deg Q.

Donc, c'est applicable ici !

Sinon, si tu veux le faire sans la formule (ce que je te conseille si tu veux t'entrainer), tu peux appliquer un lemme de Jordan.
Si tu n'en connais pas, on peut s'en sortir autrement.
Pour montrer que l'intégrale tend vers 0, on peut utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Si tu ne le connais pas, on fait tout à la main !

N'oublie pas que 3$ |e^z| = e^{\mathfrak{Re} z}, et donc 3$ |e^{iRe^{it}}| = |e^{R(-\sin t + i \cos t)}| = e^{-R \sin t}.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 10:39

Voici mon raisonnement :

On pose G(z) = F(z)zeiz

J'intègre sur le bord du demi-cercle de rayon R centré en 0 noté B :

De ce fait \Bigint_B G(z) dz = \Bigint_B F(z)zeiz dz = \Bigint_B F(Reit)Reite{iRe^{it}} Rieit dt

\Bigint_B F(Re^{iRe^{it}})

*balise en erreur corrigée*

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 10:40

Oupsssssssss me suis trompé je voulais cliquer sur aperçu :s  je recommence !!

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 10:50

C'est bizarre, chez moi, on dirait que toute la page a un problème d'affichage : les menus apparaissent en tout petit.

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 10:51

Il n'y a pas que les menus d'ailleurs ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 11:06

Voici mon raisonnement :

On pose G(z) = F(z)zeiz

J'intègre sur le bord du demi-cercle de rayon R centré en 0 noté B :

\Bigint_BG(z) dz = \Bigint_BF(z)ze^{iz} dz = \Bigint_0^{\pi}F(Re^{it})Re^{it}e^{iRe^{it}} iRe^{it} dt

Donc |\Bigint_BG(z) dz| \le \Bigint_0^{\pi}|F(Re^{it})||Re^{it}||e^{iRe^{it}}||iRe^{it}| dt \le \Bigint_0^{\pi}M(r)Re^{-Rsin(t)}R dt

ou M(r) = sup{F(z) tel que |z|=R}
et car |e^{iRe^{it}}| = e^{-Rsin(t)}

De plus, F(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} avec degQ > degP donc quand z -> + inf on a que M(r) = o(\frac{1}{R^2}) et donc il existe une constante c telle que M(r) <= c/R²

et donc : |\Bigint_BG(z) dz| \le \Bigint_0^{\pi} \frac{c}{R^2}Re^{-Rsin(t)}R dt = 2ce^{-R}  -> 0  quand R -> +inf

Voilà j'espère que c'est bon...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 11:07

moi aussi y'a un problème de taille ^^

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 12:10

Le principe est bon, à deux choses près.

D'abord, un détail, pourquoi poser 3$ G(z) = F(z)ze^{iz}, au lieu de 3$ G(z) = F(z)e^{iz} ?
Bon, au final, c'est la même chose, les calculs sont les mêmes, mais c'est pas très naturel.

Puis, comment calcules-tu tout à la fin 3$ \Bigint_0^{\pi}e^{-R \sin t}dt ?

Au passage, 3$ M(r) est un grand O de \frac{1}{R^2}, et non un petit o, mais ça a l'air d'être une coquille.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 12:34

Oui c'est une coquille c'est bien un O et non un o.

Ensuite je préfère ne pas insérer le z au numérateur de F(z) car en cours on utilise un F(z) de la forme 1 sur qqch donc j'ai plus l'habitude comme cela.

Pour l'intégrale beh je calcule, e^{-R}\Bigint_0^{\pi}e^{sint}dt
Ce qui donne e^{-R}[e^{-cost}]_0^{\pi}

Et là, en écrivant je viens de me rendre compte que je n'ai pas divisé par sin(t)
donc le résultat n'est pas bon : je refais le calcul ^^

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 12:53

maintenant je trouve -2e-R (juste la valeur de l'intégrale)

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 13:29

Alors, déjà, 3$ e^{-R \sin t} n'est certainement pas égal à 3$ e^{-R} e^{\sin t}, et ton calcul de primitive est un peu fantaisiste.

Sinon, pour la question du choix de F, il faut savoir s'adapter à chaque situation, et je ne vois pas l'intérêt de poser F comme tu l'as fait.
Enfin, si tu préfère, c'est ton choix ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 15:07

je vais tout réécrire au propre et tout bien refaire car là je me perds je te donne ma solution finale après

++

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 15:35

Citation :
Il n'y a pas que les menus d'ailleurs ...

Citation :
moi aussi y'a un problème de taille ^^


Problème de balises mal équilibrées corrigé

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 15:41

donc pour le résultat final, je trouve \frac{2c}{R} 0 quand R->+

Et donc maintenant si le résultat et juste peux tu me donner un indice quand à l'intégration sur le segment [-R;R] ?

je reste bloqué sur \Bigint_{-R}^{R} F(z)ze^{iz}dz

je ne vois pas vers quoi doit tendre ceci, ni même comment le majorer

merci

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 15:42

Merci Tom_Pascal

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 15:53

Merci beaucoup Tom_Pascal.

Tu as réussi à montrer que l'intégrale sur le demi-cercle tendait vers 0 ? Tu as tenu compte de mes remarques ? (ton calcul de primitive était faux)

Sinon, pour le reste, j'ai l'impression que tu as perdu de vue le but de la manoeuvre.
On cherche à déterminer 3$ \lim_{R \to \infty} \Bigint_{-R}^{+R} \frac{z e^{iz}}{z^2+2z+5}dz, alors c'est normal que tu n'arrives pas à le majorer facilement.

Tu n'as toujours pas appliqué le théorème des résidus, il serait peut-être temps de le faire ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 16:25

oui je vais t'avouer que je perds un peu le truc mais ca va je m'accroche !!

si je l'ai calculé au début sans te le dire et je trouve un truc assez horrible... je l'ai refait 2 fois et je trouve toujours le même donc bon...

je trouve : \frac{(-1+2i)e^{-2-i}}{4i}

et donc en appliquant le théorème des résidus, j'obtiens

\Bigint_{\infty}^{\infty}\frac{ze^{iz}}{z^2+2z+5}dz = \frac{(-1+2i)e^{-2-i}}{2}

donc maintenant il faut identifier les parties réelles et imaginaires de chaque coté et on trouvera la solution c'est bien ça?

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 16:26

oupsssss il y a un au numérateur à droite du =

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 16:50

C'est correct. (c'est pour ça que je t'avais prévenu que le résultat n'est pas très esthétique ^^)

Il ne reste plus qu'à identifier parties réelles et parties imaginaires et on a gagné !

Je risque de paraître un peu lourd à force d'insister, mais j'ai l'impression que tu as un peu expédié le fait que l'intégrale tend vers 0 sur le demi-cercle.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 17:02

Citation :

Je risque de paraître un peu lourd à force d'insister, mais j'ai l'impression que tu as un peu expédié le fait que l'intégrale tend vers 0 sur le demi-cercle.


non t'es pas lourd t'inquiètes !!

beh j'ai pas oublié que ça tendait vers 0 puisque je l'utilise pour trouver ma solution finale, celle ou il faut identifier les membres

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 17:23

je viens de faire le calcul final en identifiant les membres et donc

je trouve \frac{\pi e^2}{2} je vais t'avouer que je ne suis pas convaincu... et donc pour la deuxième intégrale celle avec le cosinus je trouve juste ......

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 17:45

Euh, non je ne suis pas d'accord, qu'est devenu le terme e^{-i} ?? Ecris sous forme cartésienne le nombre complexe \frac{-1+2i}{2}e^{-2-i}.

Citation :
beh j'ai pas oublié que ça tendait vers 0 puisque je l'utilise pour trouver ma solution finale, celle ou il faut identifier les membres

Je sais très bien que tu n'as pas oublié que ça tend vers 0, ce sur quoi j'insiste c'est sur la preuve que ça tend vers 0 ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 17:58

non non la preuve j'ai bel et bien compris je t'ai même donné la valeur finale de la majoration de l'intégrale et en faisant tendre R vers l'infini, je trouve bien 0

Sinon pour la fin, e-2-i je ne vois pas trop comment le modifier ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 17:59

ah mais Re(e-2-i) = eRe(-2-i) faut il faire comme cela?

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 18:07

Citation :
Re(e-2-i) = e^Re(-2-i)

C'est une blague ? Si tu inventes des formules pour te simplifier la vie, ça n'ira pas ...

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 18:13

oui je me suis rendu compte que j'ai mélangé avec la formule du |e^z|

je laisse tombé pour ce soir, j'en ai marre je reprendrai cela à tête reposé demain matin. Surtout qu'il ne reste qu'un simple calcul et à prendre la partie imaginaire.

En tout cas merci d'avoir laissé "un peu" de ton temps pour m'expliquer

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 18:17

Pas de problème. On est à deux doigts de conclure, tu peux prendre ton temps.

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 18:36

Re ^^

Je vais t'avouer que ca m'énerve de ne pas avoir la réponse :@ !!

j'ai essayé d'écrire -2-i en forme exponentielle mais je n'arrive pas à déterminer l'argument, je me retrouve avec cos(t) = -2/sqrt(5)
sin(t) = -1/sqrt(5)

fin j'en trouve une valeur approchée mais je ne connais pas la valeur exacte. Et en plus, une exponentielle d'exponentielle ce n'est pas forcément utilisable.

je bloque totalement pour convertir ce complexe... peut être est ce simple mais bon je ne vois vraiment pas

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:10

e^{-2 - i} = e^{-2} e^{-i}.

Que vaut e^{-i}  sous forme cartésienne ? (c'est à dire sous forme a+ib, avec a et b réels)

Posté par
NsSommes1
re : Analyse complexe et formule des résidus 16-05-10 à 19:25

mais il n'y a pas de valeur exacte pour ça, tout du moins je ne la connais pas je connais juste la valeur approchée soit 0.54 - 0,84i

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